4.2平面课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.2 平 面 第4章 1 1.能从日常生活实例中抽象出平面的概念，理解平面的基本特性. 2.能用图形和符号表示点、直线、平面，能用集合语言描述它们之间的位置关系. 3.掌握反映平面性质的三个基本事实，明确它们的地位和作用. 核心素养：逻辑推理、直观想象 学习目标 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 一、平面 1.平面的概念 生活中的一些物体，如黑板面、桌面、平静的湖面等都给我们以“平面”的形象.几何中所说的“平面”就是从这些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展，没有大小限制. 名师点析 点、直线、平面的概念 （1）点、直线、平面是只描述不加定义的原始概念，都是从直观感觉抽象出来的. （2）点是没有大小的；直线是没有粗细的，且直线可以无限延伸；平面是“平的”，既无厚度也无大小，因而无法进行度量；平面是向四周无限延展的，一个平面可以将空间分为两部分. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.平面的画法和表示 （1）图形表示 我们通常用一个平行四边形来代表平面.如图，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向. （2）字母表示 平面常用小写希腊字母来表示，如平面、平面、平面等，并将它写在表示平面的平行四边形的一个角上；还可以用表示平面的平行四边形的顶点字母或对角顶点字母来表示. 图中的平面可记为平面，也可以记为平面ABCD、平面AC. 水平放置的平面 竖直放置的平面 高中数学 必修第二册 湖南教育版 二、符号表示 空间中的直线和平面都可以看作点的集合，因此可以借用集合中的符号来表示空间中点、直线、平面之间的位置关系. （1）点A在直线l上，记作A∈l；点B不在直线l上，记作. （2）点A在平面α内，记作A∈α；点B不在平面α内，记作. （3）直线a在平面α内，记作aα；直线b不在平面α内，记作. （4）直线a，b相交于点P，记作. （5）直线AB和平面α交于点C，记作. （6）平面α与平面β交于直线CD，记作. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 三、三个基本事实及其推论 1.基本事实1 （1）文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. （2）图形语言： （3）符号语言：. 作用：（1）用直线检验平面；（2）判断直线是否在平面内. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.基本事实2 （1）文字语言：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.可以说成“不共线的三点确定一个平面”. （2）图形语言： （3）符号表示：A，B，C三点不共线有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α. 作用：（1）确定平面；（2）判断两平面是否重合；（3）证明点、线共面问题. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 3.基本事实3 （1）文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. （2）图形语言： （3）符号语言：. 作用：（1）判断两个平面是否相交，只要两个平面有一个公共点，就可以判断这两个平面必相交于过这点的一条直线； （2）判断点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的交线，则这点在交线上.即，这是后面证明“点共线”和“线共点”的重要依据. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 4.平面基本事实的三个推论 推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面 确定平面，使， 推论2 两条相交直线确定一个平面 确定平面，使， 推论3 两条平行直线确定一个平面 确定平面α，使， 高中数学 必修第二册 湖南教育版 推论1证明：如图（1），设点A是直线a外一点，在直线a上任取两点B和C，则由基本事实2，经过A，B，C三点确定一个平面.再由基本事实1，直线a也在平面内，因此平面经过直线a和点A，即一条直线和这条直线外一点确定一个平面. 推论2证明：如图（2），设a∩b＝P，在直线a，b上分别取不同于点P的两点A，B，则由基本事实2，经过A，B，P三点确定一个平面，再由基本事实1，A∈a，P∈a，A∈，P∈，所以直线a也在平面内，同理直线b也在平面内.即经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3证明：如图（3），设a∥b，在直线a上取两点A，B，在直线b上取两点C，D，则A，B，C，D中任意三点不共线，由基本事实2可知过点A，C，D有且只有一个平面，过点B，C，D有且只有一个平面.假设两平面和不重合，则，在内过A作与CD平行的直线AE，则AB，AE都与CD平行.与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条”矛盾，所以假设错误，平面与重合，即与是同一个平面，即两条平行的直线确定一个平面. 名师点析 （1