5.2.3诱导公式课件-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

5.2 任意角的三角函数 第五章 5.2.3 诱导公式 学习目标 1.利用单位圆的对称性及同角三角函数关系推导诱导公式. 2.掌握三角函数的诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”等的含义. 3.能运用诱导公式求值.化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式. 核心素养：直观想象、数学抽象、数学运算. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 新知学习 诱导公式一 角α与k·2π+α（k∈Z）的三角函数间的关系 由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一 sin（α+2kπ）＝sin α（k∈Z）， cos（α+2kπ）＝cos α（k∈Z）， tan（α+2kπ）＝tan α（k∈Z）.  【注意】（1）诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等. （2）利用公式一可以把任意角的三角函数值化为0~2π范围内终边相同的角的三角函数值（方法是先在0~2π的范围内，找出与所给角终边相同的角，再把它写成公式一的形式，进而求得结果）. （3）由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律.这也说明了角与三角函数的对应关系是多（角）对一（值）的关系，即如果给定一个角，它的三角函数值只要存在就是唯一的；反过来，如果给定一个三角函数值，都有无数个角与之对应. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 新知学习 诱导公式二 角α与-α的三角函数间的关系 如果角α的终边与角β的终边关于x轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？ 设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P′，则点P和点P′关于x轴对称（图）. 根据三角函数的定义，点P的坐标是（cos α，sin α），点P′的坐标是（cos β，sin β）， 则有sin β＝-sin α，cos β＝cos α. 由同角三角函数关系得 特别地，角-α与角α的终边关于x轴对称，则有公式二　　 sin（-α）＝-sin α，cos（-α）＝cos α，tan（-α）＝-tan α. 点P′的坐标是（cos α，sin -α），则有β＝-α，则α，β的终边关于x轴对称 后边的诱导公式推导都要用到 高中数学 必修第一册 湖南教育版 新知学习 诱导公式三 角α与π+α的三角函数间的关系 若角α的终边与角β的终边关于原点O对称（图）. 同理可得，sin β＝-sin α，cos β＝-cos α，tan β＝tan α. 特别地，角π+α与角α的终边关于原点O对称，则有公式三 sin（π+α）＝-sin α， cos（π+α）＝-cos α， tan（π+α）＝tan α. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 新知学习 诱导公式四 角α与π-α的三角函数间的关系 若角α的终边与角β的终边关于y轴对称（图）. 同理可得 sin β＝sin α，cos β＝-cos α，tan β＝-tan α. 特别地，角π-α与角α的终边关于y轴对称，则有公式四 sin（π-α）＝sin α， cos（π-α）＝-cos α， tan（π-α）＝-tan α. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 总结 【问题1】公式二、公式三、公式四间的关系 【答】       【问题2】关于“函数名不变，符号看象限”的理解. 【答】①“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名； ②“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由 新角所在象限确定符号.如sin(α+π)，若把α看成锐角，则π+α在 第三象限，所以取负值，故sin(α+π)=-sinα 高中数学 必修第一册 湖南教育版 诱导公式一~四的应用 【例1】利用公式求下列三角函数的值. 【解】                   高中数学 必修第一册 湖南教育版 方法归纳 【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】 任意负角的 三角函数 用公式一 或公式二 任意正角的 三角函数 0~2π的角 的三角函数 用公式三 或公式四 锐角的 三角函数 用公式一 利用诱导公式化简的一般思路： 切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 【例2】化简 【解】因为           所以原式=   诱导公式一~四的应用 高中数学 必修第一册 湖南教育版 填表：                                     即时巩固 高中数学 必修第一册 湖南教育版 诱导公式五 α与 -α的三角函数间的关系 若角α的终边与角β的终边关于直线y＝x对称（图=），设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P′. 根据三角函数的定义，点P的坐标是（cos α，sin α），点P′的坐标是（