5.2.1任意角三角函数的定义课件-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

5.2 任意角的三角函数 第五章 5.2.1 任意角三角函数的定义 学习目标 1.会利用相似关系，由角α终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函数的定义. 2.能根据定义理解正弦、余弦和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号，会求一些特殊角的三角函数值. 3.理解单位圆中的三角函数线. 核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模 高中数学 必修第一册 湖南教育版 新知学习 教材引入&任意角的三角函数定义 高中数学 必修第一册 湖南教育版 教材引入&任意角的三角函数定义 一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离是r，则r＝ ..根据相似三角形知识可知，比值 ， ， 与α的终边上的点P的位置无关.我们规定： （1）比值叫作α的正弦（sine），记作sin α，即sin α＝ ； （2）比值叫作α的余弦（cosine），记作cos α，即cos α＝ ； （3）比值（x≠0）叫作α的正切（tangent），记作tan α，即tan α＝ . sin α，cos α，tan α分别叫作角α的正弦函数。余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为α的三角函数 高中数学 必修第一册 湖南教育版 教材引入&任意角的三角函数定义 【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. （1）正弦函数： （2）余弦函数： （3）正切函数：       角 实数 (角的弧度) 三角 函数值 【注意】（1）在任意角的三角函数定义中，α是一个使函数有意义的实数 （2） 是自变量，离开自变量 的sin,con,tan是没有意义的 （3）三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P在终边上的 位置无关，终边确定了，三角函数就确定了.     高中数学 必修第一册 湖南教育版 如图，已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的正弦、余弦、正切值. 即时巩固 高中数学 必修第一册 湖南教育版 常见角的三角函数值                             无                   牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！ 高中数学 必修第一册 湖南教育版 三角函数的定义域 高中数学 必修第一册 湖南教育版 三角函数线 1、有向线段 规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段.类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线.若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记作AB. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 9 三角函数线 2、三角函数线 高中数学 必修第一册 湖南教育版 10 三角函数线 高中数学 必修第一册 湖南教育版 11 各象限角的三角函数的符号 高中数学 必修第一册 湖南教育版 12 【1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为 【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.   因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和 Y轴的负半轴重合； 又因为cosθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限，综合可知 Θ为第三象限角. 再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， cosθ＞0， 所以必要性成立，即充要性成立. 即时巩固 高中数学 必修第一册 湖南教育版 【1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为 【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.   因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和 Y轴的负半轴重合； 又因为cosθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限，综合可知 Θ为第三象限角. 再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， cosθ＞0， 所以必要性成立，即充要性成立. 即时巩固 高中数学 必修第一册 湖南教育版 随堂小测 1.已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为 √ 高中数学 必修第一册 湖南教育版 3.(2021·宁波期末)若角α的终边经过点P(－1，－1)，则 A.tan α＝1 B.sin α＝－1 √ 4. 若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析　∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D. 高中数学 必