3.2.1函数的单调性与最值课件-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

3.2.1 第3章 函数的单调性与最值 1 学习目标 1.理解函数单调性的定义. 2.运用单调性的定义判断函数的单调性.并会求函数的单调区间. 3.会根据函数的单调性求参数或解含有参数的不等式. 4.会利用函数的单调性求函数的最值. 核心素养：数学运算、逻辑推理 高中数学 必修第一册 湖南教育版 新知学习 情境与问题 我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律. 如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：%），则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y=f（x）. 这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 函数的单调性 高中数学 必修第一册 湖南教育版 情境与问题中的函数y=f（x）反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小. 给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化，类似的内容我们在初中曾经接触过.如下图，从正比例函数y=2x的图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小. 新知学习 函数的单调性 高中数学 必修第一册 湖南教育版 怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x的增大而减小”？ 新知学习 函数的单调性 1.增函数、减函数 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为，且是 的非空子集： （1）如果对于上任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），就称f（x）是区间上的增函数，也称f（x）在区间I上单调递增，如图3.2-3所示； （2）如果对于上任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），就称f（x）是区间上的减函数，也称f（x）在区间I上单调递减，如图3.2-4所示. 这就是我们马上要学习的知识-函数的单调性 高中数学 必修第一册 湖南教育版 新知学习 函数的单调性 由增函数和减函数的定义可知，前面给出的例子中，y=2x在R上是增函数；y=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数. 2.函数的单调性，单调区间 如果函数y＝f（x）在区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫作y＝f（x）的单调区间. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 新知学习 函数的单调性 从函数的图像能方便地看出函数的单调性.但一般情况下，得到函数的图像并不容易，而且手工作出的图像往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性.这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法. 如下图所示的函数y=f（x），在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数，在[3，6]上是增 函数. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 新知学习 函数的单调性 从函数的图像能方便地看出函数的单调性.但一般情况下，得到函数的图像并不容易，而且手工作出的图像往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性.这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法. 如下图所示的函数y=f（x），在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数，在[3，6]上是增 函数. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 即时巩固　 证明 任取x1，x2∈R且x1<x2，则x1-x2<0，那么 f（x1）-f（x2）=（-2x1）-（-2x2）=2（x2-x1）>0， 从而f（x1）>f（x2）. 因此，函数f（x）=-2x在R上是减函数. 例1 求证：函数f（x）=-2x在R上是减函数 高中数学 必修第一册 湖南教育版 函数的最大（小）值 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为： 如果有a∈D，使得不等式f（x）≤f（a）对一切∈D成立，就说f（x）在处取到最大值M=f（a），称M为f（x）的最大值，a为f（x）的最大值点. 如果有a∈D，使得不等式f（x）≥f（a）对一切∈D成立，就说f（x）在处取到最小值M=f（a），称M为f（x）的最小值，a为f（x）的最小值点. 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. 高中数学 必修第一册 湖南教育版 即时巩固　 解 任取x1，x2∈[-1，6]且x1<x2，则x1-x2<0， 那么f（x1）-f（x2）=（3x1+5）-（