专题19 特殊平行四边形【考点精讲】（课件+讲义）-【中考高分导航】备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）

专题19 特殊平行四边形 一、菱形 1. 定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2. 性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.  3. 判定方法: ①一组邻边相等的平行四边形是菱形;  ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;  ③四条边都相等的四边形是菱形.  4. 设菱形对角线长分别为l1,l2,则S菱形=l1l2. 二、矩形 1. 定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形. 2. 性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.  3. 判定方法: ①有三个角是直角的四边形是矩形;  ②对角线相等的平行四边形是矩形;  ③有一个角是直角的平行四边形是矩形.  4. 设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab. 三、正方形 1. 正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形. 2. 正方形的性质 （1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质. （2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.  （3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.  3. 正方形的判定方法 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形.  （2）对角线互相垂直的矩形是正方形.  （3）有一个角是直角的菱形是正方形.  （4）对角线相等的菱形是正方形.  4. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系 【考点1】菱形的性质与判定 【例1】（性质）（2022·四川自贡）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可． 【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点， ∴A、C坐标关于原点对称，∴C的坐标为，故选C． 【例2】（判定）（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可） 【答案】AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可） 【分析】由菱形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下： ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加条件是：，利用如下： ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加的条件是OA=OC，利用如下： ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加的条件是OB=OD，利用如下： ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可） 菱形的证明方法（三种） ①先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的任一组邻边相等. ②先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的对角线互相垂直. ③证明四边形ABCD的四条边相等. 1．（2022·海南）如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（       ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据设，由菱形的性质表示出BC=4x，BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】过C作CM⊥AB延长线于M， ∵∴设 ∵点E是边的中点∴ ∵菱形∴，CE∥AB ∵⊥，CM⊥AB∴四边形EFMC是矩形 ∴，∴BM=3x 在Rt△BCM中， ∴，解得或（舍去）∴故选：B． 2．（2021·广东）下列命题中，为真命题的是（ ） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形 （3）对角线相等的平行四边形是菱形 （4）有一个角是直角的平行四边形是矩形 A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4） 【答案】B 【分析】正确的命题叫真命题，根据定义解答． 【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题； 对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题； 故选：B． 3．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（       ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】取AC的中点M，连接EM设由中位线性质可得再根据，可得出从而得到FC的长，即可得到的结果． 【详解