6.5 二项式定理的应用——组合数的性质 （第2课时）（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第6章 计数原理 ６．５ 二项式定理的应用——组合数的性质 （第2课时） 1 学习目标 1.理解二项式系数的性质. 2.会用赋值法求展开式系数的和. 1. 二项式定理： 复习巩固： 2. 通项公式： 3. 二项式系数： 在二项式定理中，特别令 a=1，b=1 ，就得到 令 a=1 ,b=1就得到 由上述二式就得到 求证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于 偶数项的二项式系数的和. 证明： 即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 思考 5 例４ 已知对任意给定的实数x，都有 求值： 解 令 x-1=y , 则 x=y+1，从而 １＋２x ＝１＋２（ y ＋１ ）＝３＋２y 因此，已知的等式可改写为 二式联立就得到 （ １ ）令 y ＝１ ，得 （ ２ ） 令 y ＝－１ ， 得 证明 对于任给的 r ∈ ｛ ０ ， １ ， ２ ，…，n－１ ｝有 所以 ， 当n为偶数时 ， 最大值是中间的一项 所以 ， 当 n 为奇数时 ， 最大值是中间的两项 解 对 r＝０,1,２，…,１５ ,展开式的第 r ＋１ 项是 因此 ,对于r ∈ ｛ ０,１,２ ,…,１４ ｝， 就有 所以,当 r∈｛ ０,１,２,…,１０｝ 时, 当r=１１时, 而当 r ∈｛ １２,１３,１４ ｝ 时 ， 因此 ， 系数最大的项是第 １２ 项 1. 各二项式系数的和 思考 即 这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于 由此我们可得二项式系数有以下性质： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2. 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． r f(r) O 1 2 3 5 10 15 20 4 5 6 事实上，这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴为 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3. 增减性与最大值 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课本练习 宋老师数学精品工作室 练习６．５（２） 随堂检测 宋老师数学精品工作室 解： 证明： 解： $