第21讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值问题-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第21讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值问题 一、课标要求： 圆锥曲线与方程 ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。 ③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。 ④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 ⑤了解椭圆、抛物线的简单应用。 二、知识梳理 一、椭圆的几何性质：． 1． 准线方程： 2． 参数方程：或． 3． 过椭圆上的一点的切线方程：（判别式法，导数法可证） 4． 中心在的椭圆方程或． 5． (焦点三角形)的性质：设，则 （1）当在，最大； （2）当在，最大； (3)； （4）焦半径公式：①. ②，为弦的倾斜角，为焦点到准线的距离． 【】 【在中，注意椭圆定义．余弦定理（含勾股定理）．正弦定理．基本不等式的运用】． 6．光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆（的切线）反射后，反射光线一定经过另一个焦点． 7． 椭圆的第二定义：．当时，方程为． 二、双曲线的性质：． 1． 准线方程： 2． 参数方程：或． 3． 过双曲线上的一点的切线方程：． 4． 中心在的双曲线方程或． 5． (焦点三角形)的性质： （1）在中，较长的焦半径大于或等于，较短的焦半径大于或等于． （2）在中，已知一条焦半径的长，求另一条焦半径的长，利用定义求（解方程），注意它的解有时只有一解，有时有两解，满足大于或等于的才合理； （3）设，则 （4）焦半径公式：① ②，为弦的倾斜角，为焦点到准线的距离． 【】 【在中，注意双曲线定义．余弦定理（含勾股定理）．正弦定理．基本不等式的运用】． 6． 光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线（的切线）反射后，反射光线一定经过另一个焦点． 7． 双曲线的第二定义：．当时，方程为． 三、查缺补漏 方向一：定点问题 模型：圆锥曲线中的内接直角三角形，若直角顶点与圆锥曲线顶点重合，则斜边所在的直线过定点． 例1.已知，直线：与椭圆交于两点（不是左右顶点）且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 分析：要证明直线过定点，需求出：中：与的关系，通过与的关系，消去其中一个，求出直线所过的定点． 评注：（1）曲线过定点问题，要对曲线方程关于参变量整理，即，为参数，若方程有两个参数，需在题中寻找它们之间的关系，消去其中一个．若有解，则曲线过定点，否则不过定点． （2）直线：过定点问题，我们有以下重要结论： ①若为常数，则直线必过定点，如直线：必过定点； ②若（其中为常数），则直线必过定点，如本题中，故过定点； ③若（其中，为常数），则直线必过定点，如直线：过定点． （3）关于直线：过定点问题，我们有以下重要结论： ①若为常数，则直线必过定点，如本题中，则直线必过定点； ②若（其中为常数），则直线必过定点，如，即，则直线必过定点； ③若（其中，为常数），则直线必过定点，如，即，则直线必过定点． 例2.已知抛物线上异于顶点的两动点满足以为直径的圆过原点．求证： 所在的直线过定点，并求出该定点的坐标． 评注：（1）对于焦点在轴上的抛物线与直线交于两点，常设直线方程为，这样它们联立的方程组简单且包含斜率不存在的直线； （2）当求得有两值时必须讨论，并检验是否成立； （3）抛物线上异于原点的两动点满足，则直线必过定点；抛物线上异于原点的两动点满足，则直线必过定点． 例3.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点． 评注：利用轴是的角平分线的性质得到，从而得到两点的坐标关系，进而求出直线过定点．这就启发学生在解题时务必注重题目中的几何特征，合理利用几何条件并把其代数化．这是解析几何解题的重要思路，反映了解析几何的本质——用代数工具解决几何问题（数与形的结合）． 例4.已知抛物线，过点作两直线分别与抛物线交于两点，且的斜率 满足．求证：直线过定点，并求出此定点的坐标． 方向二：定值问题 模型一：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一点与曲线上的两动点满足直线与直线的斜率互为相反数，则直线的斜率为定值． 例5.已知椭圆，为椭圆上的点，其坐标为，分别为椭圆上的两动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值． 分析：这里要抓住直线的斜率与的斜率互为相反数这一关键条件，既提供了思维的方向，又可简化运算． 评注：本题的思路简单．运算较繁，这里要注意条件的有机结合，能够简化运算． 例6.过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线与，． （1）求抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；