第19讲 直线与圆-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第19讲 直线与圆 一、课标要求： （1）直线与方程 ①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 ④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。 ⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。 ⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 （2）圆与方程 ①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 ②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 二、知识梳理 1． 直线的斜率：(直线的倾斜角：) ①定义法：； ②坐标法：，；特别地，，其中. ③向量法：直线的方向向量为，则直线的斜率为. 2． 直线方程的五种形式：【点在直线上】 ①点斜式：； ②斜截式：； ③两点式；【】 ④截距式：； ⑤一般式：(，不同时为)，其斜率为，它的一个方向向量为. (1)前四种直线方程表示直线有局限性；所求直线方程一般最后都化成一般式! (2)用待定系数法注意所求直线应该是一条还是两条(可通过几何分析确认)，斜率不存在的直线最容易遗漏!直线与轴垂直是特殊情形(因其斜率不存在)，具体应用(解题)时，切莫忘记单独考察． (3)会根据条件灵活设直线方程，尤其在直线交圆锥曲线中①②的变形式设法：，. 3． 设，，的坐标分别为，，，为的中点，则中点的坐标公式： 4． 距离公式：【掌握①、②公式的代数运算与几何意义的相互转化，涉及求距离的最值时，它们往往需相互转化使用】 ①【两点间的距离公式】，其中. 特别地，，其中，. ②【点到直线的距离公式】点到直线：的距离为：. ③【两条平行直线间的距离公式】：和：的距离为：. 5． 两条直线位置关系的判定方法：(斜截式、系数比、向量法) 方法1：设：；：，则 ①且； ② ③与重合且； ④与相交； 方法2：设：；：，则 ①；②； ③与重合； ④与相交. 【说明：应用时①③中的分式要变整式(整式才是真正的充要条件)，分式形式只是便于记忆!】 方法3：利用两直线的方向向量研究两直线的位置关系． 6． 两直线的交点坐标： 直线：与直线：的交点坐标就是的解，当方程组只有一组解时，两直线相交；当方程组无解时，两直线平行；当方程组有无数组解时，两直线重合. 7． ①标准方程：，圆心坐标为()，半径为.【思考：的取值范围如何确定？】 思考：或等表示什么曲线？【半圆!】 ②一般方程：，圆心，半径 【对于①②,如何判断点与圆的位置关系？代入方程左边后与右边比大小!或求出距离后与半径比大小!】 ③直径方程：，为一直径的两端点. ④圆的参数方程：圆心坐标为()，半径为. 8． 轨迹方程：点的轨迹方程是指点的坐标()满足的关系式.【直接法、相关点法(代入法)】 (与三角形顶点、四边形顶点、圆等有关的轨迹可能个别点或部分点要排除!) 9． 圆的弦长与弦心距的关系：；常需结合点到直线的距离公式解题! 10． 两圆位置关系(有五种)的判定方法： (1)几何法(利用的大小关系判断)； 设两圆圆心分别为，半径分别为，且，，则 ①相离；②外切；③内切 ④相交；⑤内含. (2)代数法(利用判断). 11． 圆的方程为：①；圆的方程为：②； ①—②可得：， 当两圆相交时，它为公共弦所在直线方程； 12． 直线与圆的位置关系(相离、相切、相交)的判定： (1)几何法(利用，的大小关系判断)；设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则： ①直线和圆相离直线和圆没有公共点； ②直线和圆相切直线和圆有一个公共点； ③直线和圆相交直线和圆有两个公共点. (2)代数法(利用△判断)．联立直线方程和圆的方程，消元后，得关于或的一元二次方程，求出，则： ①直线和圆相切直线和圆没有公共点； ②直线和圆相切直线和圆有一个公共点； ③直线和圆相交直线和圆有两个公共点. 13． 过圆外一点向圆作切线，求切线方程；设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出即可，如果只有一解，则意味着有一条切线与轴垂直!【待定系数法】 14． ①过圆上一点的切线方程为：. 因此，过圆上一点的切线方程为：. ②过圆上一点的切线方程为： 15． 思考：过圆外一点向圆作两条切线，切点为，则直线的方程如何求？ 16． 与圆有关的六种最值问题【应该直接利用几何性质，理解掌握最值状态!】 ①过圆内一定点的所有弦长中，直径最长，与之垂直的弦最短；(如图) ②圆上的点到圆内一定点的距离的最大值、最小值； ③圆上的点到圆外一定点的距离的最大值、最小值； ④当直线与圆相离时