第六板块 函数与导数（讲义）-【创新方案】2023高考数学（文科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第六板块函数与导数 明明白白知高考 函数与导数是高中数学的基础和主线内容，高考对这部分的考查选择题、填空题、解答题均有涉及，难度有大有小. 从考查内容上看，小题主要涉及函数的图象，指数式、对数式的比较大小，函数的性质及零点问题，导数的几何意义，构造 函数解不等式等.其中，2022年乙卷首次出现了双空题，解答题均是作为压轴题出现的，难度较大，具有很好的区分度， 导数题强调“用”，“用”就是导数的应用，即用导数来研究函数的单调性与极值.考查内容主要包括：导数与函数的 单调性、极值，利用导数解决不等式问题，利用导数研究函数的零点问题等，考查的函数一般是多项式函数、指数函数、 对数函数、三角函数这几种函数的组合 融会贯通串知识 一、主干知识·以点带面 :(二)导数 (一)函数的概念与性质 导数函数f(x)在点x处的导数是曲线f(x)在点 主干 知识点 的几P(x。,f(x。)处的切线的斜率，因此曲线f(x)》 何意在点P处的切线的斜率k=f(x。),相应的切线 (1)函数的定义， 义 念 方程为y-f(x)=f(x)(x-x) (2)函数的图象：对于函数的图象要会作图、识图 和用图. (1)利用导数研究函数的单调性 象 (3)函数图象的对称性及变换 ①若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义 域内解（或证明）不等式f(x)>0或f(x)<0; (1)单调性：复合函数的单调性遵循“同增异减” ②若已知函数的单调性，则转化为不等式∫(x)≥0 的原则 或f(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解. (2)奇偶性：奇函数在关于原点对称的单调区间 (2)利用导数研究函数的极值、最值 种 常 内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单 ①若在x附近左侧(x)>0,右侧f(x)<0,则 调区间内有相反的单调性。 公 f(x)为函数f(x)的极大值；若在x,附近左侧f(x) 性 (3)周期性：若y=f(x)对x∈R,f(x十a) <0,右侧f(x)>0,则fz)为函数f(x)的极小值； f(x-a)或f(x十2a)=f(x)(a>0)恒成立，则 ②设函数y=f(.x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可 y=f(x)是周期为2a的周期函数 导，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在 极值点或端点处取得 (1)am·a”=am+";(2)(a")"=am; (3)log,(MN)=log M+log N; (1)利用导数研究函数的零点，可以通过函数的 七 单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势， 组 M (4)log.N log,M-log,N; 数形结合求解。 (5)log M"nlog M;(6)al08.N =N: (2)利用导数证明不等式 公 若证明f(.x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数 (7)1ogN= log,N logia F(x)=f(x)一g(x),如果能证明F(x)在(a,b)上的 最大值小于0，即可证明f(x)<g(x),x∈(a,b). (a,b>0且a,b≠1，M>0,N>0) 综 (3)利用导数解决不等式的恒成立”与“存在性”问题 (1)指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数 ①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立台[f(.x) 公 y=logx(a>0,且a≠1)的图象和性质，分0<a g(x]mn>0(x∈I)； 三种 <1,a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义 ②]x∈I,使f(x)>g(x)成立台[f(x) 基本 域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义 g(x)]max>0(x∈I): 初等域内都为减函数。 ③对Vx1,x2∈I使得f(x1)≤g(x2)台f(x)m 函数 (2)幂函数y=x,e∈{-1，号1,2.3的图象和 ≤g(x）min； ④对Hx1∈1,3x2∈I使得f(x1)≥g(x2)台 性质与α的具体数值有关 f(x）min≥g(x)min 78 第六板块函数与导数 二、常用结论·记清用活 (3)若函数y=f(x)满足f(a十x)=f(b一x),则 1.函数的周期性 y=f(x)的图象关于直线x=a十中对称. 2 (1)若函数f(x)满足f(x十a)=f(x-a),则f(x)是 三、易错易误·注意防范 周期函数，其中一个周期是T=2a(a≠0)： 1.忽略函数的定义域 (2)若满足f(.x十a)=一f(.x),则f(x)是周期函 (1)判断函数的单调性时，要函数的定义域优先； 数，其中一个周期是T=2a(a≠0)； (2)判断函数的奇偶性时，忽略函数的定义域会导 (3)若满足f(x+a)=f则f(x)是周期函数， 致结论错误； 其中一个周期是T=2a(a≠0)： (3)求复合函数单调区间时，忽略定义域而致误； (4)若函数满足f(x十a)=- f,则f(x)