第六板块 函数与导数（讲义）-【创新方案】2023高考数学（理科）二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第六板块函数与导数 明明白白知高考 函数与导数是高中数学的基础和主线内容，高考对这部分的考查选择题、填空题、解答题均有涉及，难度有大有小， 从考查内容上看，小题主要涉及函数的图象，指数式、对数式的比较大小，函数的性质及零点问题，导数的几何意 义，构造函数解不等式等.解答题均是作为压轴题出现的，难度较大，具有很好的区分度， 导数题强调“用”，“用”就是导数的应用，即用导数来研究函数的单调性与极值.考查内容主要包括：导数与函数的 单调性、极值，利用导数解决不等式问题，利用导数研究函数的零点问题等.考查的函数一般是多项式函数、指数函数、 对数函数、三角函数这几种函数的组合 融会贯通串知识 一、主干知识·以点带面 (二)导数 (一)函数的概念与性质 导数函数f(x)在点x。处的导数是曲线f(x)在点 主干 知识点 的几P(xo,f(x)处的切线的斜率，因此曲线f(x) 何意在点P处的切线的斜率k=f(x,),相应的切线 概 (1)函数的定义， 义 念 (2)函数的图象：对于函数的图象要会作图、识图 方程为y-f(x)=f(x)(x-x) 图 和用图. (1)利用导数研究函数的单调性 象 (3)函数图象的对称性及变换 ①若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义 域内解（或证明）不等式f(x)>0或(.x)<0: (1)单调性：复合函数的单调性遵循“同增异减” ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)≥0 的原则. 两 或f(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解. 基 (2)利用导数研究函数的极值、最值 常 本 ①若在x附近左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,则 考 调区间内有相反的单调性。 用 f(x)为函数f(x)的极大值；若在x附近左侧子(x) 质 (3)周期性：若y=f(.x)对x∈R,f(x+a)=f(x <0,右侧f(x)>0,则f(x)为函数f(.x)的极小值； a)或f(.x十2a)=f(x)(a>0)恒成立，则y-f(.x)是 周期为2a的周期函数 ②设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可 导，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在 极值点或端点处取得 (1)am·a”=am+";(2)(a")”=am; (3)log,(MN)=log M+log N; (1)利用导数研究函数的零点，可以通过函数的 七 组 M (4)log.N log M-log N; 单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势， 数形结合求解. (5)log.M"nlog M;(6)al,NN: (2)利用导数证明不等式 式 (7)log,N= log,N 若证明f(x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数 loga F(.x)=f(x)-g(x),如果能证明F(.x)在(a,b)上的 (a,b>0且a,b≠1，M>0,N>0) 系 最大值小于0，即可证明f(x)<g(x),x∈(a,b). 种 (3)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题 (1)指数函数y=a'(a>0,且a≠1)与对数函数 ①f(.x)>g(x)对一切x∈I恒成立台[f(x) y=logx(a>0,且a≠1)的图象和性质，分0< 用 g(x)]mim>0(x∈I); 三种a<1,a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义 ②3x∈I,使f(x)>g(x)成立台[f(x)- 基本域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义 g(x)]mmx>0(.x∈I); 初等域内都为减函数， ③对Hx1,x2∈I使得f(x1)≤g(x2)台f(.x)m 函数 （2)幂函数=r∈-1,1,23的图象和 ≤g(x）min； ④对Vx1∈I,3x2∈I使得f(x1)≥g(x2)台 性质与α的具体数值有关 f(x）mm≥g(x)mim 铺了85 高考专题辅导与测试·数学（理） 二、常用结论·记清用活 (3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b一x),则 1.函数的周期性 y=f()的图象关于直线x=a十对称. 2 (1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x一a),则 三、易错易误·注意防范 f(x)是周期函数，其中一个周期是T=2a(a≠0)： 1.忽略函数的定义域 (2)若满足f(x十a)=一f(x),则f(x)是周期函 (1)判断函数的单调性时，要函数的定义域优先； 数，其中一个周期是T=2a(a≠0)； (2)判断函数的奇偶性时，忽略函数的定义域会导 (3)若满足fx+a)=o则fx)是周期函数， 致结论错误； 其中一个周期是T=2a(a≠0)： (3)求复合函数单调区间时，忽略定义域而致误； (4)研究函数的导数时，忽略定义域而致误 (4)若函数满足fx+a)=了则/x)是周 1 2.忽略基本初等函数的形式、定义和性质 期函数，其中一个周期是