河南省许昌市禹州市高级中学2022-2023学年高二下学期第一次段考（2月）数学试题

试卷第 1页，共 4页 禹州高中高二下学期第一次段考数学试卷 一、单选题 1-5．CCDBD 6-10．CDADD 11-12CD 二、填空题 13. 3 3 14． 3 2 x   15．8 16 e 三、解答题 17．【答案】(1) 336 h h  ,  0,6h (2)48 3 18．【答案】(1) 3 1, Nna n n   ， ,2 Nnnb n  (2) 18 (3 4)2nnT n    19【详解】（1）根据题意， 函数  f x 的定义域为  0,  ,  1 0f  ，   ln a xf x x x      1 1f a    曲线  f x 在点   1, 1f 处的切线方程为   1 1y a x   ． （2）  f x 的定义域为  0,    lnln a x x x x af x x x x         令   lng x x x x a      ln 2g x x    令   2 10 e g x x     2 10 0 e g x x      2 10 e g x x    g x 在 2 10, e       上为增函数，在 2 1 , e    上为减函数， max 2 2 1 1( ) e e g x g a        f x 为单调递减的函数 2 1 0 e a   2 1 e a   ． 20．【详解】（1）依题意， 10 1Q PQ 为正三角形，且 1 10| | 0Q Q a  ，观察图象得 1 1 1 1 3( , ) 2 2 P a a ， 试卷第 2页，共 4页 而点 1P在曲线 y x 上， 即 1 1 3 1 2 2 a a ，解得 1 2 3 a  ， 1 2 2Q PQ△ 为正三角形，且 2 21| | 0QQ a  ，点 2 1 2 2 1 3( , ) 2 2 P a a a 在曲线 y x 上， 2 1 2 3 1 2 2 a a a  ，整理得 22 2 83 2 0 3 a a   ，解得 2 4 3 a  ， 所以 1 2 3 a  ， 2 4 3 a  . （2） 1 1n n nQ P Q  是正三角形，点 ( ,0)n nQ S ， 1 1| | 0n n nQ Q a   ，于是点 1 1 1 1 3( , ) 2 2n n n n P S a a   在曲线 y x 上， 则 1 1 3 1 2 2n n n a S a   ，即 2 1 1 3 1 4 2n n n S a a   ，当 2n  时， 2 1 3 1 4 2n n n S a a   ， 两式相减得： 2 2 1 1 3 1 3 1( ) 4 2 4 2n n n n n a a a a a     ，整理得 1 1 1 2( )( ) ( ) 3n n n n n n a a a a a a      ， 则 1 2 3n n a a   ，而 2 1 2 3 a a  满足上式，因此 Nn   ， 1 2 3n n a a   ， 即数列 na 是首项为 1 2 3 a  ，公差 2 3 d  的等差数列， 1 2( 1) 3n a a n d n    ， 所以数列 na 的通项公式是 2 3n a n . 21. (12 分) 如图, 在三棱雉 A BCD 中, 平面 ABD 平面 BCD , ,AB AD O 为BC的中点. (1) 证明：OA CD ? (2) 若 OCD 是边长为1的等边三角形, 点E在棱 AD上, 2DE EA , 且二 面角 E BC D  的大小为 45 , 求三棱锥 A BCD 的体 积. 20、【答案】 (1) ,AB AD O 为BD中点, AO BD  , ∵ AO 面 ABD ,面 ABD 面BCD，且面 ABD面BCD BD , ∴ AO 面BCD， ∴ AO CD . (2) 以O为坐标原点,OD为 y轴, OA为 z轴, 垂直OD且过O的直线为 x 轴, 试卷第 3页，共 4页 设 3 1 1 2, ,0 , (0,1,0), (0, 1,0), (0,0, ), 0, , 2 2 3 3 C D B A m E m 