专题16 【大题限时练十六】-备战2023年广东高考数学满分限时题集

专题16 大题限时练十六 1．已知递增等比数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前15项和． 2．如图，已知内有一点，满足． （1）证明：； （2）若，，求． 3．为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布． （1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望； （2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如图所示： ①计算这一天平均值与标准差； ②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？ 参考数据：，，，，，，，，． 4．如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙． （1）求证：平面平面； （2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值． 5．已知抛物线与椭圆有公共的焦点，的左、右焦点分别为，，该椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）如图，若直线与轴，椭圆顺次交于，，点在椭圆左顶点的左侧），且与互补，求△面积的最大值． 6．已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 大题限时练十六 1．已知递增等比数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前15项和． 【答案】（1）；（2）92 【详解】（1）设递增等比数列的公比为， 由，，得，解得． ； （2）由， 可得，，，，； ，，，，． 数列的前15项和． 2．如图，已知内有一点，满足． （1）证明：； （2）若，，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：因为， 而， 所以， 在中，由正弦定理知，， 所以，得证． （2）解：由（1）知，， 因为，，所以， 而， 在中，由正弦定理知，， 所以， 解得，， 因为，且，所以， 故． 3．为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布． （1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望； （2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如图所示： ①计算这一天平均值与标准差； ②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？ 参考数据：，，，，，，，，． 【答案】见解析 【详解】（1）由题意知：或 ， ， ， ； （2）①由茎叶图可得10个数据：97，97，98，98，105，106，107，108，108，116． 则． ． ； ②结论：需要进一步调试． 理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，， ． 零件内径在之外的概率只有0.0026，而， 根据原则，知生产线异常，需要进一步调试． 4．如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙． （1）求证：平面平面； （2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，． ，． ，，，同理． 又，，． ，，平面，平面． 又平面，平面平面． （2）解：如图建立空间直角坐标系， 根据边长关系可知，，0，，，0，，，，，，0，， ，，，，0，． 三棱锥和的体积比为，， ，，，，，． 设平面的法向量为，，， 则，令，得，，． 设直线与平面所成角为， 则，， 直线与平面所成角的正弦值为． 5．已知抛物线与椭圆有公共的焦点，的左、右焦点分别为，，该椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）如图，若直线与轴，椭圆顺次交于，，点在椭圆左顶点的左侧），且与互补，求△面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）由题意可得，抛物线的焦点为， 椭圆的半焦距，又椭圆的离心率为， ，即， ，，即， 椭圆的方程为． （Ⅱ）设，，，，， 与互补，， ，化简整理，可得①， 设直线 为， 联立直线与椭圆方程， 化简整理，可得， △，可得②， 由韦达定理，可得③， 将，代入①，可得④， 再将③代入④，可得，解得， 的方程为， 由点到直线的距离，