专题11 【大题限时练十一】-备战2023年广东高考数学满分限时题集

专题11 大题限时练十一 1．如图，一架飞机从地飞往地，两地相距．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，飞机沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点． （1）求，两地之间的距离； （2）求． 2．已知数列的前项和为． （1）从①，②，③这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求的通项公式； （2）在第（1）问的前提下，若，求数列的前项和． 3．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且，分别为棱，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 4．点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销．促销活动规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元、15元或者20元代金券一张，中奖率分别为、和，每人限点一餐，且中奖．现有公司甲、乙、丙、丁、戊五位员工决定点餐试吃． （1）求这五人中至多一人抽到10元代金券的概率； （2）这五人中抽到15元、20元代金券的人数分别用，表示，记，求随机变量的分布列和数学期望． 5．已知为坐标原点，椭圆的上顶点为，右顶点为，的面积为，原点到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）过的左焦点作弦，，这两条弦的中点分别为，，若，求面积的最大值． 6．已知函数，． （1）设函数，求的最大值； （2）证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 大题限时练十一 1．如图，一架飞机从地飞往地，两地相距．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，飞机沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点． （1）求，两地之间的距离； （2）求． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意知，，，， 由余弦定理得，， 所以． （2）由余弦定理得，， 所以， 故． 2．已知数列的前项和为． （1）从①，②，③这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求的通项公式； （2）在第（1）问的前提下，若，求数列的前项和． 【答案】见解析 【详解】选①②，因为，所以， 因为，， 所以，数列是等比数列，公比为，首项为， 所以，即， 所以，当时，， 当时，，显然满足， 所以． 选②③，因为，， 所以，解得，故． 因为，， 所以， 即， 所以，整理得， 所以数列是等比数列，公比为，首项为1， 所以． 选①③，因为，， 所以，， 两式作差得，即， 所以数列是等比数列，公比为，首项为1， 所以， 所以， 所以； 解：由（1）得，故， 所以数列的前项和满足： ． 3．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且，分别为棱，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：矩形对角线的交点记为，可知， 又因为，可知，同理可得，， 且，底面，所以底面， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 从而有，． 设平面的法向量为，则有，可取， 所以，所以平面． （2）解：记平面、平面的法向量分别为、． 由（1）中的数据，同理可得平面、平面的法向量分别为、， 根据法向量的方向，可知平面与平面的夹角的余弦值即为． 则平面与平面的夹角的余弦值为． 4．点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销．促销活动规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元、15元或者20元代金券一张，中奖率分别为、和，每人限点一餐，且中奖．现有公司甲、乙、丙、丁、戊五位员工决定点餐试吃． （1）求这五人中至多一人抽到10元代金券的概率； （2）这五人中抽到15元、20元代金券的人数分别用，表示，记，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】见解析 【详解】（1）设“这5人中恰有人抽到10元代金券“为事件 易知“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率： ； （2）由题意可知，当或，或，时，， 当时，， 当，或，时，， 当，或，时，， 当，或，或时，， 当，或，时，， 的可能取值为0，1，2，3，4，6， ， ， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 6 故． 5．已知为坐标原点，椭圆的上顶点为，右顶点为，的面积为，原点到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）过的左焦点作弦，，这两条弦的中点分别为，，若，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）易知，． 因为的面积为，所以． 又直线的方程为，即，点到直线的距离为， 所以． 联立方程组， 解得，， 所以椭圆的方程为． （2）由题意知直线，的斜率均存在，设的斜率为，，，，，由（1）知， 则直线的方程为． 联立方程组消去，得，