专题10 【大题限时练十】-备战2023年广东高考数学满分限时题集

专题10 大题限时练十 1．已知数列是等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和，并证明：． 2．已知在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值． 3．袋中装着标有数字1，2，3，4不同的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等． （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望． 4．如图所示，为半圆锥顶点，为圆锥底面圆心，为底面直径，为弧中点．是边长为2的等边三角形，弦上点使得二面角的大小为，且． （1）求的值； （2）对于平面内的动点总有平面，请指出的轨迹，并说明该轨迹上任意点都使得平面的理由． 5．已知动点到点和直线的距离相等． （1）求动点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，点在直线上，过的两条直线，与曲线相切，切点分别为，，以为直径作圆，判断直线和圆的位置关系，并证明你的结论． 6．已知． （1）求的单调区间； （2）证明：方程在，上无实数解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 大题限时练十 1．已知数列是等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和，并证明：． 【答案】（1），；（2）见解析 【详解】（1）解：由题意，设等比数列的公比为， 则，即， ， ，即， 解得， ，． （2）证明：由（1）， 可得， 故 ， 不等式对恒成立． 2．已知在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）中，因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 又， 所以； （2）由，， 根据正弦定理得， 所以，， 所以， 又， 所以当时，周长取得最大值为． 3．袋中装着标有数字1，2，3，4不同的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等． （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】见解析 【详解】（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为， 则； （2）由题意所有可能的取值为：1，2，3，4， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量的均值为： ． 4．如图所示，为半圆锥顶点，为圆锥底面圆心，为底面直径，为弧中点．是边长为2的等边三角形，弦上点使得二面角的大小为，且． （1）求的值； （2）对于平面内的动点总有平面，请指出的轨迹，并说明该轨迹上任意点都使得平面的理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）由题意知，平面，且， 又平面，平面， ，， 所以以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，0，，，0，，，，，，1，，，0，， 设，，，所以，，，，1，， 由．得到，，，1，，，， 所以，，，，，， 所以，，，，1，，，2，， 设平面的一个法向量为，，， 所以，令，，， 所以平面的一个法向量为，，， 又平面的一个法向量为，0，， ， 解得（舍去）； （2）取的中点，的中点，连接，，， 由三角形中位线定理得到，，，， 所以由面面平行的判定易知，平面平面， 且平面平面，所以点的轨迹是直线， 因为平面平面，平面， 所以对任意点直线，都有平面，如图所示 5．已知动点到点和直线的距离相等． （1）求动点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，点在直线上，过的两条直线，与曲线相切，切点分别为，，以为直径作圆，判断直线和圆的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）设动点， 由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为． （2）直线和圆的位置关系是相切． 证明：依题可设，，，，，． 由，即：， 求导得：， 所以切线，的斜率分别是，． 所以的方程是， 点，的坐标代入，得：，即． 同理可得． 于是，是方程的两根． 所以，， 由，得，即：． 由，可得， 所以，即：点在圆上． 所以直线和圆相切． 6．已知． （1）求的单调区间； （2）证明：方程在，上无实数解 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析 【详解】（1）的定义域为， ， 令，即，解得， 令，即，解得， 综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：令，，，， 因为当，时，， 所以在，单调递减， 所以， 所以函数在，上无零点， 即方程在，上无实根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $