专题08 【大题限时练八】-备战2023年广东高考数学满分限时题集

专题08 大题限时练八 1．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛位于小岛北偏东距离60海里处，小岛北偏东距离海里处有一个小岛． （1）求小岛到小岛的距离； （2）如果有游客想直接从小岛出发到小岛，求游船航行的方向． 2．已知数列，满足，，且，． （1）求，的值，并证明数列是等比数列； （2）求数列，的通项公式． 3．足球比赛全场比赛时间为90分钟，90分钟比赛后双方仍旧打平，需采取点球大战的方式决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜． （1）已知小明在点球训练中射进点球的概率是．在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记为射进点球的次数，求的分布列及数学期望． （2）现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为．每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率． 4．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点． （1）是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）当为何值时，直线与面所成的角的正弦值最大． 5．已知椭圆的离心率为，又点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线，垂足为，试探究：是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由． 6．已知函数，；，． （1）求函数在区间上的极值； （2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 大题限时练八 1．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛位于小岛北偏东距离60海里处，小岛北偏东距离海里处有一个小岛． （1）求小岛到小岛的距离； （2）如果有游客想直接从小岛出发到小岛，求游船航行的方向． 【答案】（1）海里；（2） 【详解】（1）由题意知，，，， 在中，由余弦定理知，， 所以， 故小岛到小岛的距离为海里． （2）由余弦定理知，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 由，知游船航行的方向是北偏东． 2．已知数列，满足，，且，． （1）求，的值，并证明数列是等比数列； （2）求数列，的通项公式． 【答案】（1）见解析；（2）， 【详解】（1）证明：，， ． ，， ， 是为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知是为首项，为公比的等比数列， ， ， ， 当时，， 当时，也适合上式； 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为． 3．足球比赛全场比赛时间为90分钟，90分钟比赛后双方仍旧打平，需采取点球大战的方式决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜． （1）已知小明在点球训练中射进点球的概率是．在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记为射进点球的次数，求的分布列及数学期望． （2）现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为．每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率． 【答案】见解析 【详解】（1）由题意可得，，所有可能的取值为0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 故． （2）记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件， 由题意可知，在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数之比为：“甲乙：”记为事件，或：“甲乙：”