专题03 【大题限时练三】-备战2023年广东高考数学满分限时题集

专题03 大题限时练三 1．问题：已知，数列的前项和为，是否存在数列，满足，，______？若存在，求通项公式；若不存在，说明理由． 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 2．在平面四边形中，，，，． （1）求的面积； （2）若，求的值． 3．如图，在五面体中，平面，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，，五面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 4．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如表： 月份 1 2 3 4 5 销售量（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：． （1）根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程的值精确到； （2）已知该公司的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 5．已知双曲线经过，且点到的渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率不为0的直线与双曲线交于，两点，直线分别交直线，于点，，请交直线，于点，，试判断以为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由． 6．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个零点，． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 大题限时练三 1．问题：已知，数列的前项和为，是否存在数列，满足，，______？若存在，求通项公式；若不存在，说明理由． 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 【答案】见解析 【详解】选①：， ，， ， ，即 是以 2 为公差，1为首项的等差数列， ，即， 当 时，， 显然， 时，上式不成立，所以， 选②：当 时，，即， 所以， 整理得， 又，， 所以 从第二项起，是以 2 为公比，4 为首项的等比数列， 当 时，，即， 显然， 时，上式成立，所以， 选③：， ， 又， 是以 2 为公比和首项的等比数列， ，即． 2．在平面四边形中，，，，． （1）求的面积； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）8 【详解】（1）在中，由余弦定理可得：， ，，解得， 又，， 的面积为； （2）在中，由正弦定理得， ，平面四边形中，， ，， 由，得， ， 在中，由正弦定理有， ，， ． 3．如图，在五面体中，平面，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，，五面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明：（1）解法一：若是中点，连接，作，由知：， 因为面，则面，又，面， 所以，， 综上，，，两两垂直，故可构建如图所示的空间直角坐标系， 令，，，则，，，，，，，0，， 所以， 若，， 是面的一个法向量，即，令，则，，， 又 是面的一个法向量，则， 所以面面． （1）解法二：分别取，中点，，连接、、， 则，， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面，平面垂直平面． 解：（2）由面，面，则面面，故到面的距离，即为中上的高， 因为，则，故， 所以上的高． 又面，则，而，有，， 所以为直角梯形，令，则， 综上，，故． 由 （1）知：， 所以， 若是面的一个法向量，即，令，则， 而，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 4．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如表： 月份 1 2 3 4 5 销售量（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：． （1）根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程的值精确到； （2）已知该公司的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】见解析 【详解】（1）令， 则，， ，， 故关于的回归方程为． （2）由（1）可知，， ， 令， 则， 令，解得，令，解得，令，解得， 故在处取得极大值，也为最大值， 故（9）， 故第9个月的月利润预报值最大． 5．已知双曲线经过，且点到的渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率不为0的直线与双曲线交于，两点，直线分别交直线，于点，，请交直线，于点，，试判断以为直径的圆是否经过定点，若经