专题01 【大题限时练一】-备战2023年广东高考数学满分限时题集

专题01 大题限时练一 1．在等比数列中，，，分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 3 第二行 4 6 5 第三行 9 12 8 （1）写出，，，并求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 2．的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为． （1）证明：； （2）若，求． 3．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏． （1）求随机变量的分布列及数学期望； （2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率． 4．如图，在四棱锥中，，，在以为直径的半圆上（不包括端点），平面平面，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值． 5．已知椭圆的离心率为，短轴长为4． （1）求的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线和，直线与相交于两个不同点，，在线段上取点，满足，直线交轴于点，求面积的最小值． 6．已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若，，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 大题限时练一 1．在等比数列中，，，分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 3 第二行 4 6 5 第三行 9 12 8 （1）写出，，，并求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1），，，；（2） 【详解】（1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，， 即数列是首项为2，公比为2的等比数列，故． （2）因为， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上所述，． 2．的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：由题设，， 又， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 又， 所以， 即． 解：（2）方法一：由（1）及题设，，且， 所以， 则，故， 又， 可得， 若，则，而，故不合题设； 所以， 所以． 方法二：由， 由余弦定理， 则，有， 由余弦定理． 3．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏． （1）求随机变量的分布列及数学期望； （2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率． 【答案】见解析 【详解】（1）由题意可得，随机变量所有可能的值为1，2，3， ，，， 故的分布列为： 1 2 3 0.3 0.6 0.1 故． （2）由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1， 记参与者第轮的得分为， 则其前轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则， 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“”，“ ”的情形， 则， 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，由“”，“ ”的情形， 则， 故甲能够领到纪念品的概率． 4．如图，在四棱锥中，，，在以为直径的半圆上（不包括端点），平面平面，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：取中点，连接，， ，，分别为，的中点， ，，， ，，平面平面， 平面，平面； （2）当四棱锥体积最大时，是中