专题18 【大题限时练十八】-备战2023年广东高考数学满分限时题集

专题18 大题限时练十八 1．已知等差数列中，，，且． （1）求数列的前项和； （2）若，记数列的前项和为，求． 2．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，作，使得四边形满足，． （1）求； （2）设，，求函数的值域． 3．如图所示的圆柱中，是圆的直径，，为圆柱的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 4．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负．甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆中，得3分，冰壶的重心落在圆环中，得2分．冰壶的重心落在圆环中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响．甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，． （1）求甲、乙两人所得分数相同的概率； （2）设甲、乙两人所得的分数之和为，求的分布列和期望． 5．已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影．当为等边三角形时，其面积为． （1）求抛物线的方程； （2）过轴上一动点，作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点，和，，点，分别为，的中点，求面积的最小值． 6．已知函数，． （1）证明：； （2）若函数的图象与的图象有两个不同的公共点，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 大题限时练十八 1．已知等差数列中，，，且． （1）求数列的前项和； （2）若，记数列的前项和为，求． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 所以， 从而． 所以； （2）， ， ， 两式相减得，， 所以， 即． 2．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，作，使得四边形满足，． （1）求； （2）设，，求函数的值域． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由， 得， 即， 所以， 因为， 所以． （2）因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以 ， 因为，可得， 当时，即，可得， 当时，即，可得， 所以的取值范围是， 即的值域为． 3．如图所示的圆柱中，是圆的直径，，为圆柱的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：取的中点，连接，，， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形是平行四边形， ，又平面，平面， 所以平面， 因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）解：设， 由，得， 因为，所以， 由题意知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，2，，，0，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 连接，因为，，，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 4．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负．甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆中，得3分，冰壶的重心落在圆环中，得2分．冰壶的重心落在圆环中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响．甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，． （1）求甲、乙两人所得分数相同的概率； （2）设甲、乙两人所得的分数之和为，求的分布列和期望． 【答案】见解析 【详解】（1）由题意知甲得0分的概率为， 乙得0分的概率为， 所以甲、乙两人所得分数相同的概率为； （2）可能取值为0，1，2，3，4，5，6， 则， ， ， ， ． ， ， 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 所以． 5．已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影．当为等边三角形时，其面积为． （1）求抛物线的方程； （2）过轴上一动点，作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点，和，，点，分别为，的中点，求面积的最小值． 【答案】（1）；（2）16 【详解】（1）抛物线的焦点，准线， 因为为等边三角形，则有， 而为在动直线上的投影，则， 由，