专题17 【大题限时练十七】-备战2023年广东高考数学满分限时题集

专题17 大题限时练十七 1．已知数列中，，． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 2．在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 3．“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示： 　周末体育锻炼时间 ， ， ， ， ， ， 　频率 　0.1 0.2　 　0.3 0.15　 0.15　 　0.1 （Ⅰ）估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （Ⅱ）在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻时间在，内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在，内的人数为，求的分布列以及数学期望． 4．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且． （1）求证：直线平面； （2）当的长最小时，求二面角的正弦值． 5．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为，的面积为1． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与交于，两点过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，是否存在直线使得的面积等于，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 6．已知函数在点处的切线方程为． （1）求函数在上的单调区间； （2）当时，是否存在实数使得恒成立，若存在，求实数的取值集合，若不存在，说明理由． （附，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 大题限时练十七 1．已知数列中，，． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1），， ， ， 数列是以2为公比的等比数列， （2）由（1）知，数列是等比数列，且，首项为， ， ， 数列的前项和． 2．在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）由， 可得， 化为， 则， 由，可得； （2）由，，， 可得， 因为为锐角三角形， 所以， 即为，解得， 则的取值范围是，． 3．“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示： 　周末体育锻炼时间 ， ， ， ， ， ， 　频率 　0.1 0.2　 　0.3 0.15　 0.15　 　0.1 （Ⅰ）估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （Ⅱ）在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻时间在，内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在，内的人数为，求的分布列以及数学期望． 【答案】见解析 【详解】由表中数据可得， ， 故这600名学生周末体育锻炼时间的平均数为． 由题意可得，15人中锻炼时间在，的人数为人， 在，的人数为人， 则所有可能取值为0，1，2，3， ，，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 故． 4．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且． （1）求证：直线平面； （2）当的长最小时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：过作与交于点，过作与交于点，连接． 由已知条件，可知矩形与矩形全等． ，， ， ， 又，则四边形为平行四边形， 所以， 不在平面内，平面， 平面． （2）解：由平面平面，平面平面， 又平面，， 平面． 以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 过点作，垂足为，连接，易知，设， 可得，， ， 可知当时，长最小值为． 此时，， 又，0，，，2，， ，，， 设平面的法向量为， 由可得， 令，可得， 设平面的法向量为， 由可得， 令，可得， ， ， 则二面角的正弦值为． 5．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为，的面积为1． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与交于，两点过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，是否存在直线使得的面积等于，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）由题意知，， 因为的面积为1，所以． 又直线的方程，即， 因为点到直线的距离为， 所以，解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）依题意，当直线斜率为0时，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得， 易知△． 设，，，，则，， 因为轴，轴，所以，，，， 所以直线①， 直线②， 联立①②解得， 因为，与直线平行， 所以， 因为， 所以