6.2.3 组合&6.2.4组合数-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 6.2.3 组合 &6.2.4组合数 问题导入 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？ 在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2种方法.而从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序.于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：甲乙，甲丙，乙丙. 新知探索 l 将具体背景舍去，上述问题可以概括为： 从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组？ 这就是我们要研究的问题. 一般地，从个不同元素中取出个元素，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 思考1：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？ 排列强调元素“按一定顺序排成一列”，而组合中的元素是“不管顺序地并成一组”. 新知探索 l 从排列与组合的定义可以知道，两者都是从个不同元素中取出个元素，这是它们的共同点.但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列.由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图所示. 新知探索 l 由此，6.2.1节问题1的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组，也就是上面探究问题的3个组合. 思考2：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆.下面的问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从中选出3辆，有多少种不同的方法？ (2)从中选出3辆给3位同学，有多少种不同的方法？ 84种(可用分类加法计数原理) 种(排列问题) 例析 例5.平面内有共个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？ l 解：(1)一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段的条数为. 这12条有向线段分别为 (2)由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条： ，，，，，. 新知探索 l 思考3：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？ 例5(1)中的排列和(2)中组合之间的对应关系如下： 取出两个元素的组合的个数是排列数的一半. 排列可以看作“先取元素分组，再对组中元素作全排列”，排列的个数就是组合的个数和组中元素全排列的乘积，因此组合的个数等于排列数与组中元素全排列之比(即). 新知探索 l 类比排列数，我们引入组合数概念： 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. 例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为. 新知探索 l 问题2：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？ 前面,我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数. 运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数.设这4个元素为，那么从中取出3个元素的排列数，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如下图所示，因此组合数 新知探索 l 观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数”： 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法. 新知探索 l 于是，根据分步乘法计数原理，有，即. 同样地，求“从个元素中取出个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从个元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有.