6.2.3组合6.2.4组合数（同步课件）【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版2019 选择性必修第三册 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 1 从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别? 探究 在6.2.1节问题1的6种选法中,存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法,我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学,然后再分配上午和下午而得到的.同样,先选出甲、丙或乙、丙,再分配上午和下午也都各有2种方法.而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动,就只需考虑将选出的2名同学作为一组,不需要考虑他们的顺序.于是,在6.2.1节问题1的6种选法中,将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况:. 甲乙,甲丙,乙丙. 将具体背景舍去,上述问题可以概括为: 从3个不同元素中取出2个元素作为一组,一共有多少个不同的组? 这就是我们要研究的问题. 你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗? 但排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;而两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.例如,在上述探究问题中,“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同,但元素的排列顺序不同,因此它们是相同的组合,但不是相同的排列.由此,以“元素相同”为标准分类,就可以建立起排列和组合之间的对应关系,如图6.2-7所示. 甲乙 甲丙 甲乙,乙甲 甲丙,丙甲 乙丙 乙丙,丙乙 组合 排列 由此,6.2.1节问题1的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组,也就是上面探究问题的3个组合. 校门口停放着9辆共享自行车,其中黄色、红色和绿色的各有3辆.下面的问题是排列问题,还是组合问题? (1)从中选3辆,有多少种不同的方法? (2)从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法? 组合问题 排列问题 例5 平面内有A,B,C,D共4个点 (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条? 分析:(1)确定一条有向线段,不仅要确定两个端点,还要考虑它们的顺序,是排列问题; (2)确定一条线段,只需确定两个端点,而不需考虑它们的顺序,是组合问题. 例5 平面内有A,B,C,D共4个点 (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条? 利用排列和组合之间的关系,以“元素相同”为标准分类,你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗?进一步地,能否从这种对应关系出发,由排列数求出组合的个数? 类比排列数,我们引进组合数概念: 探究 前面,我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”,以“元素相同”为标准,建立了排列和组合之间的对应关系,并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数 甲乙 甲丙 甲乙,乙甲 甲丙,丙甲 乙丙 乙丙,丙乙 组合 排列 a b c a b c b a c c a b a c b b c a c b a a b d a b d b a d d a b a d b b d a d b a a c d a c d c a d d a c a d c c d a d c a b c d b c d c b d d b c b d c c d b d c b 图6.2-8 组合 排列 观察例的(1)与(2),(3)与(4)的结果,你有什么发现?(1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式,你对公式的选择有什么想法? 例7 在100件产品中,有98件合格品,2件次品、从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 分析:(1)从100件产品中任意抽出3件,不需考虑顺序,因此这是一个组合问题; (2)可以先从2件次品中抽出1件,再从98件合格品中抽出2件,因此可以看作是一个分步完成的组合问题; (3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品的情况,因此可以看作是一个分类完成的组合问题. 例7 在100件产品中,有98件合格品,2件次品、从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 例7 在100件产品中,有98件合格品,2件次品、从这100件产品中任意抽出3件. (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? (3)方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况,因此根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为