8.1.1向量数量积的概念-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）

8.1.1向量数量积的概念 题型1 平面向量数量积的定义及辨析 2 题型2 向量的数量积 4 题型3 向量的投影 5 知识点一．两个向量的夹角 1.定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角， ①当θ＝0°时，a与b_同向____； ②当θ＝180°时，a与b__反向______； ③当θ＝90°时，则称向量a与b__垂直__，记作a⊥b.<a，b>＝<b，a>， 规定_零向量___与任一向量平行． 2.范围：向量夹角的范围是：[0，π]． 知识点二．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 知识点三.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. （4）cos θ＝. （5）|a·b|≤|a||b|. 知识点四.投影与投影向量 1.投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|·cos θ e． 2.投影 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 题型1 平面向量数量积的定义及辨析 【方法总结】两个向量的数量积是两向量之间一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分 以下几点: (1)两个向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定。 (2)两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数 a，b 的乘积 ab(或 a·b)是不同的. (3)在实数中，若a≠0，且ab=0，则b=0，但是在数量积中，当a≠0时，由ab=0不能推出b一定是零向量。因为其中cos有可能为0，即对任一与a垂直的非零向量 b，都有ab=0 【例题1】（2021春·江苏南通·高一统考期中）若是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】1．（多选）（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）下列关于平面向量，，的运算，一定成立的有（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】2．（多选）（2022春·江苏苏州·高一吴县中学校考期中）对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（       ） A．若，则与中至少有一个为 B．若，则 C．向量与向量夹角的范围是 D． 【变式1-1】3.（多选）（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知下列命题中，正确的是（    ） A．若，则或 B．若，且，则或 C． D．若与平行，则 【变式1-1】4．（2022春·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（    ） A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角 【变式1-1】5.给出下列结论：①，，则；②若，则；③若，则或；④，则或；⑤；⑥..其中正确结论的序号是________________.（写出所有正确结论的序号） 题型2 向量的数量积 【方法总结】求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． 【例题2-1】 已知|a|＝2，|b|＝5. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a⊥b，求a·b； (3)若a、b夹角为60°，求a·b. 【变式2-1】1.（2021春·江苏常州·高一常州市第一中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，， ，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】2．（