8.1.2向量数量积的运算律-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）

8.1.2向量数量积的运算律 题型1 向量数量积运算律的应用 1 ◆类型1 向量数量积运算律的应用 2 ◆类型2 向量垂直的应用 3 ◆类型3 向量的夹角 4 题型2 利用数量积判断多边形形状 5 题型3 与向量模有关的问题 6 题型4 向量夹角与锐角钝角问题 7 题型5 取值范围最值问题 8 知识点一．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【拓展】向量数量积不满足： ①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c； ②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c)． 知识点二.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 题型1 向量数量积运算律的应用 【方法总结】求向量的数量积时，常用到的结论 （1）a2=|a|²； （2）（xa+yb）（mc+nd）=xmac+xnad+ymbc+ynbd，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则； (3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2; (4)(a+b+c)2=a2＋b2＋c2＋2a·b+2a·c+2b·c. 同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件. ◆类型1 向量数量积运算律的应用 【例题1-1】在中，，是边上的中线，且，，则（    ） A． B．5 C． D．8 【变式1-1】1．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则的值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式1-1】2．在平行四边形ABCD中，已知，，，，则（    ）． A． B． C．6 D．9 【变式1-1】3．如图，在同一平面内以平行四边形两边为斜边向外作等腰直角，，若，则（    ） A． B． C． D． ◆类型2 向量垂直的应用 【例题1-2】已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求： ①(a＋b)·(a－b)； ②(2a＋b)·(a－b)． 【变式1-2】1．已知平面四边形ABCD中，，，，且是正三角形，则的值为_____________． 【变式1-2】2．已知非零向量的夹角的余弦值为，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-2】3．（2023·陕西铜川·校考一模）已知单位向量，的夹角为，向量，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-2】4.（2022春·江苏常州·高一统考期中）已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为（    ） A．-2 B．2 C． D． 【变式1-2】5．已如，，，，则实数的值为_________． 【变式1-2】6.已知不共线的平面向量，满足，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. ◆类型3 向量的夹角 【例题1-3】已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. ①求|b|； ②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值． 【变式1-3】1．已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】2.已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】3.已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，，则与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】4.已知非零向量满足的夹角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 【变式1-3】5.（多选）（2022春·江苏徐州·高一统考期末）设向量，满足，则（    ） A．与的夹角为60° B． C． D． 【变式1-3】6．已知单位向量，满足，若向量，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】7.已知非零向量满足有实根，则的夹角的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 题型2 利用数量积判断多边形形状 【例题2】 已知△ABC中，＝a，＝b，B是△ABC中的最大角，若a·b<0，试判断△ABC的形状． 【变式2-1】1.在△ABC中，·<0，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式2-1】2.若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( ) A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式2-1】3.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·