专题11 盘点求轨迹方程的五种方法-备战2023年高考数学二轮复习《方法与题型》讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题11 盘点求轨迹方程的五种方法 定义法 盘点求轨迹方程的五种方法 直接法（直译法） 参数法 交规法 相关点法（代入法） 典例讲解 一、定义法求轨迹方程 从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹； ② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹； ③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹； 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支； ④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹； 1、已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 2. 已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.则点的轨迹的方程为_______； 3、若动圆过定点且和定圆 外切，则动圆圆心的轨迹方程是_______ 4．在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足.则动点的轨迹方程为 ； 5、设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程. 二．直接法求动点的轨迹方程 1、如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直接法． 2、利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1）建系：建立适当的坐标系 （2）设点：设轨迹上的任一点 （3）列式：列出有限制关系的几何等式 （4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简 （5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明． 1、已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．则动点P的轨迹方程为 ； 2、已知平面上的动点到点和的距离之比为，则点的轨迹方程为_____. 3、已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．则曲线的轨迹方程为 。 4、已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．求点的轨迹的方程; 5、已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹方程为 。 6、已知两定点的坐标分别为，动点满足条件，则动点的轨迹方程为___________ 三．相关点（代入法）法求动点的轨迹方程 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． 1、当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（       ） A． B． C． D． 2、已知点为上的动点，点满足.则点的轨迹的方程为 ； 3、已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ． 4、已知A为圆C：上一动点，点，若M为AB的中点，则点M的轨迹的方程为 ， 5、已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为______． 四．参数法求动点的轨迹方程 从条件中无法直接找到的联系，但可通过一辅助变量，分别找到与的联系，从而得到和的方程：，即曲线的参数方程，消去参数后即可得到轨迹方程。 1、已知两条动直线与（，为参数）的交点为.求点的轨迹的方程； 2、设椭圆的方程为，斜率为1的动直线交椭圆于A，B两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆，圆心的轨迹方程为______． 3、已知曲线和直线l：y=kx(k≠0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程. 4、已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__． 5、设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程； 五、交轨法求动点的轨迹方程 在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方