专题10 盘点求二面角的三种方法-备战2023年高考数学二轮复习《方法与题型》讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题10 盘点求二面角的四种方法 定义法 盘点求二面角的五种方法 空间向量法 三垂线定理法 面积射影法 典例讲解 方法一：二面角的定义法 如图，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 1、如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是______． 2、如图在三棱锥 S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 则以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的大小为______． 3、如图所示,弧是半径为的半圆,为直径,点为弧的中点,点和点为线段的三等分点,平面外点满足. （1）证明:. (2)已知点为线段上的点,,.求平面与平面所成的二面角的正弦值. 2.如图所示，点是边长为4的正方形的中心,点分别是的中点,沿对角线把正方形折成直二面角. (1)求的大小. （2）求二面角的平面角的正切值. 方法二：空间向量法 二面角的平面角的向量求法：平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量 为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ 2．已知是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，则平面与平面所成的锐二面角为（ ） A．45° B．60° C．75° D．30° 2．如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为 。 3．如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知． （1）求证：平面平面； （2）当的长为何值时，二面角的大小为． 4. 如图，三棱柱中，点在平面内的射影在线段上，. （1）证明：； （2）设直线与平面所成角为，求二面角平面角的余弦值. 方法三：面积射影法 公式，射影面就是指一个平面在另一个平面上的投影；原面就是指第一个平面，角为射影面与原面所成的二面角的平面角。 1、如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =，则二面角 A-BD-C的余弦值为 。 2、已知正方体 AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，则截面 AMC'N与平面ABCD所成角的余弦值为 ；截面 AMC'N与平面CC'D'D所成角的余弦值为 。 3、如图，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2，分别是的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别交于，已知.则二面角的余弦值为 。 4、如图所示,在几何体中,四边形是矩形, 分别是线段的中点. （1）证明:GF//平面. (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 方法四： 三垂线法 已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线,用三垂线定理或其逆定理作出平面角,在直角三角形中计算求出. 1、如图：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O点，P是平面 ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，则二面角 M-BD-C 的正切值为 。 2、如图所示，在四边形ABCD中，，，现将沿BD折起，使得点A到E的位置． （1）试在BC边上确定一点F，使得； （2）若平面平面BCD，求二面角所成角的正切值． 3、如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值． 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.∠BDC=90°，BC=1，BP=，PC=2. （1）求证：CD⊥平面PBD； （2）若BD与底面PBC所成的角为，求二面角B-PC-D的正切值. 巩固练习 1、如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 3．已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．如图，若平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，则二面角的大小为______. 5、攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角