专题9-1：平面向量与三角形的“四心”-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

专题9-1：三角形“四心”的向量式问题 一、三角形的“重心” 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 二、三角形的“垂心” 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 三、三角形的“内心” 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 四、三角形的“外心” 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心 到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 题型一 三角形的“重心”向量式 【例1】（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【变式1-1】（2022秋·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式1-2】（2022秋·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【变式1-3】（2020·高一课时练习）在中，若，则点G是的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式1-4】（2022春·四川攀枝花·高一攀枝花七中校考阶段练习）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 题型二 三角形的“垂心”向量式 【例2】（2022·全国·高一专题练习）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式2-1】（2022春·河南南阳·高一统考期中）若为所在平面内一点，且则点是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式2-2】（2022春·北京丰台·高一北京市第十二中学校考阶段练习）已知点为所在平面内的动点，且满足，则点的轨迹一定通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【变式2-3】已知是所在平面内一点，且满足，则点（ ） A．在边的高所在的直线上 B．在平分线所在的直线上 C．在边的中线所在的直线上 D．是的外心 题型三 三角形的“内心”向量式 【例3】（2023·全国·高一课时练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式3-1】（2022春·重庆巴南·高一重庆市实验中学校考阶段练习）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【变式3-3】（2022春·高一课时练习）在中，，，，则直线通过的（ ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 题型四 三角形的“外