专题11-2：三角形的中线、角平分线与垂线问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

学利阿 学科冈原到，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题11-2：三角形的中线、角平分线与垂线问题 常考题型 题型1三角形的中线问题 三角形的中线、角 题型2三角形的角平分线问题 平分线、垂线问题 题型3三角形的垂线问题 知识梳理 一、中线 1、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2BD+AD) 推导过程：在△ABD中，c0SB=ABEDADI 2AB BD 在△ABC中，cOSB= AB+BCAC 2ABBC 联立两个方程可得：AB2+AC2=2(BD+AD) 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法：AD=(+c2+2 bccosA) 推导过程：由AD=(AB+AC), 则A=(A+Ac)2=AB°+AC2+引ACICOSA 所以AD=￥(F+c2+2 bccosA) 【点睛】适用于已知中线求面积（已知器的值也，适用）， 二、角平分线 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,角A、B,C所对的边分别问a,b,c B D 1、利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD 2、 内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则是=C 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学利购 学科冈原到，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 推导过程：在△ABD中， AB BD sin∠ADB sin∠BAD' 在△ACD中， AC CD sin ZADC sin∠CAD' →B、BD AC CD 该结论也可以由两三角形缅积之比得证，即D=4B-BD SMCD AC CD 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比， 再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比类问题， 运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法 因为SAABD十SAACD=SAABC, 所以号c~ADsin+b:ADsin号=bcsinA, 所以(b+c)AD=2 bc cos 整理的：AD= 2bccos b+c (角平分线长公式) 三、垂线 1,分别为△Bc边a,b,c上的高，则A:h,五=1：1-111 ab'c sin A'sin B'sin C 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：(1)产生直角三角形；(2)与三角形的面积相关。 题型精析 题型一三角形的中线问题 【例1】(2023春全国高-专题练习)在a4BC中，a=1.Sk=65.cos8=号 (1)求b; (2)求AC边上的中线 【变式1-1】(2023春·全国·高一专题练习)已知a,b,c分别为aABC三个内角A,B,C的对 边，且acosC+√5 asinC=b+c. (1)求A; 7,AD=9 (2)若4D为BC边上的中线，cosB=25, 求aABC的面积 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利阿 学科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式1-2】(2022秋海南三亚·高一校考开学考试)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， AE是BC边上的中线，∠C=45,sinB=,AD=1. B ED (1)求BC的长； (2)求an∠DAE的值， 【变式1-3】(2022春·辽宁铁岭高一校联考期末)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且满足2sim2A-2sin2B-sin2C-2 sin BsinC=cos2C-cos2C. (1)求角A; (2)若AD是aABC的中线，且AD=2,求b+c的最大值 【变式1-4】(2022春·辽宁丹东高一统考期末)记aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,已知C=60°. ()若os4-刷-号，求an4anB (2)若c=2,求AB边中线CD的最大值. 题型二三角形的角平分线问题 【例2】(2022春·重庆九龙坡高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)在△4BC 中，∠B=120°，AB=√2，角A的角平分线AD的长为V5,则AC=() A.2 B.3 C.√6 D.3 【变式2-1】(2023春·全国·高一专题练习)如图，在△4BC中，已知AB=2,AC=25, LBAC=30°，BC边上的中线AM与∠ABC的角平分线BN相交于点P. B N (1)LMPN的余弦值 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学科阿 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (2)求四边形PMCN的面积. 【变式2-2】(2022：全国高一假期作业)在△ABC中，内角A,B,C所对边的长分别为a,b, c,且满足bco