10.1.2 第2课时 两角和与差的正弦的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

第2课时　两角和与差的正弦的应用[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.进一步掌握两角和与差的正弦公式，会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等. 2.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. 题型(一)　给值求角 [例1]　已知锐角α，β满足sin α=，cos β=，则α-β=　　　　.  解析:因为α，β均为锐角，且sin α=，cos β=， 所以cos α=，sin β=. 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =×-×=-.又因为α，β均为锐角，所以-<α-β<.故α-β=-. 答案:- 　　[变式拓展] 　将本例中条件“sin α=”改为“sin α=”，其余条件不变，则α+β=　　　　　.  解析:∵α，β均为锐角，sin α=，cos β=，∴cos α=，sin β=.∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-. 又∵0<α+β<π，∴α+β=. 答案: |思|维|建|模| 解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值. [针对训练] 1.定义运算=ad-bc.若cos α==，0<β<α<，则β=　　　　.  解析:依题设得=sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.∵0<β<α<，∴cos(α-β)=.又cos α=，∴sin α=，∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=，∴β=. 答案: 题型(二)　证明恒等式 [例2]　已知3sin β=sin(2α+β)， 求证tan(α+β)=2tan α. 证明:由已知得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]， 即3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α] =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α， 即2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α， 所以tan(α+β)=2tan α. |思|维|建|模| 　　解决有关的证明问题，首先需仔细审视等号两边式子的结构特征(函数名及角之间的关系)，确定证明的方向，然后利用公式证明. [针对训练] 2.证明:=tan(α+β). 证明: = == =tan(α+β)， 所以原式得证. 题型(三)　角的变换 [例3]　已知<β<α<，cos(α-β)=，sin(α+β)=-，求sin 2α，sin 2β. 解:∵<β<α<， ∴0<α-β<，π<α+β<. 又∵cos(α-β)=，sin(α+β)=-， ∴sin(α-β)=，cos(α+β)=-. ∴sin 2α=sin =sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-， sin 2β=sin =sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)=-. |思|维|建|模| 　　在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角. 　　[针对训练] 3.已知0<α<，-<β<0，cos α=，cos=. (1)求cos的值; (2)求sin的值. 解:(1)因为0<α<，cos α=， 所以sin α=.所以cos=cos αcos-sin αsin=×-×=. (2)因为0<α<，所以<α+<. 所以sin=. 因为-<β<0，所以<-<. 所以sin=. 所以sin=sin =sincos-cossin =×-×=. 学科网（北京）股份有限公司 $