热点8-3 双曲线及其应用8大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点8-3 双曲线及其应用8大题型 双曲线及其应用是高考数学的重点，在近几年高考数学试卷中，上去西安的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。 一、求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积， 这一结论适用于选择或选择题。 二、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 【题型1 双曲线的定义及概念】 【例1】（2023秋·河北·高三统考阶段练习）如图，线段所在直线与平面平行，平面上的动点P满足，则点P的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【变式1-1】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知是平面内两个不同的定点，为平面内的动点，则“的值为定值，且”是“点的轨迹是双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点F1（，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是（ ） A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线上一点P到焦点的距离为9，则它到另一个焦点的距离为（ ） A．15 B．5 C．3或5 D．3或15 【变式1-4】（2023秋·河北保定·高三统考期末）（多选）平面内有一定点和一个定圆，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可以是（ ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【题型2 利用双曲线定义求最值】 【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·河南郑州·统考一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．10 【变式2-3】（2022秋·江苏扬州·高三江苏省邗江中学校考阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．12 【变式2-4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知点是右焦点为的双曲线上一点，点是圆上一点，则的最小值是______. 【题型3 双曲线的标准方程】 【例3】（2023·广东惠州·统考模拟预测）“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式-1】（2022·四川·高三统考对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023秋·天津·高三统考期末）已知双曲线的实轴长为，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·陕西西安·统考一模）已知点是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足