陕西省武功县普集高级中学2023届高三二轮数学专题-数列综合课后训练

普集高中2023届高三二轮数学专题-数列综合课后训练 班级 姓名 1．(2022·柳州联考)设a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn. (1)求证：数列{bn＋2}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 2．(2022·龙岩模拟)已知等差数列{an}为递增数列，且a2，a4是方程x2＋2x－3＝0的两根．数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2Sn＋bn＝1. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}的前n项和为Tn，且cn＝(－1)n(an＋bn)，求T2n. 3．(2022·通辽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＋1＝3an. (1)证明：{an}为等比数列； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝λn，n∈N*，λ≠0，且a2是a1，a5的等比中项． (1)求λ的值； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 1．(2022·泰安模拟)已知等差数列{an}的公差d＞0，a2＝7，且a1，a6,5a3成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足－＝an(n∈N*)，且b1＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 2．(2022·梅州质检)已知数列{an}满足·(a1＋2a2＋…＋2n－1an)＝2n＋1(n∈N*)． (1)求a1，a2和数列{an}的通项公式； (2)记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S4对任意的正整数n恒成立，求实数k的取值范围． 3．(2022·定海区模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝4,2Sn＝an＋1＋2n－4(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<n＋1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 普集高中2023届高三二轮数学专题-数列综合课后训练参考答案 班级 姓名 1．(2022·柳州联考)设a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn. (1)求证：数列{bn＋2}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：因为bn＋1＝2bn＋2， 所以bn＋1＋2＝2(bn＋2)， 因为a1＝2，a2＝4，an＋1－an＝bn， 所以b1＝a2－a1＝2， 所以bn＋2≠0，＝2， 所以数列{bn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． (2)解：由(1)可得bn＋2＝4×2n－1＝2n＋1， 故bn＝2n＋1－2. 因为an＋1－an＝bn， 所以a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，a4－a3＝b3，…，an－an－1＝bn－1(n≥2)， 累加得an－a1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1(n≥2)，所以当n≥2时，an＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n－2)＝2＋－2(n－1)＝2n＋1－2n， 又a1＝2＝21＋1－2×1，满足上式， 所以an＝2n＋1－2n(n∈N*)． 2．(2022·龙岩模拟)已知等差数列{an}为递增数列，且a2，a4是方程x2＋2x－3＝0的两根．数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2Sn＋bn＝1. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}的前n项和为Tn，且cn＝(－1)n(an＋bn)，求T2n. 解：(1)因为方程x2＋2x－3＝0的两根为－3和1，且数列{an}为递增数列，所以a2＝－3，a4＝1.设数列{an}的公差为d，则d＞0，所以d＝＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－7. 当n＝1时，由2S1＋b1＝1，解得b1＝； 当n≥2时，因为2Sn＋bn＝1，所以2Sn－1＋bn－1＝1， 两式相减可得3bn－bn－1＝0，即＝，故数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，所以bn＝×＝. (2)由(1)得an＝2n－7，bn＝，所以cn＝(－1)n(2n－7)＋n. 设数列{(－1)n(2n－7)}的前2n项和为M2n，数列的前2n项和为K2n，所以M2n＝－(－5)＋(－3)－(－1)＋…－(4n－9)＋(4n－7)＝2n，K2n＝＝－，所以T2n＝M2n＋K2n＝2n＋－. 3．(2022·通辽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＋1＝3an. (1)证明：{an}为等比数列； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. (1)证明：因为2Sn＋1＝3an，所以当n＝1时，a1＝1