2023年中考数学一轮复习讲义　圆

2023届中考数学一轮复习讲义 圆专项 模块一 三大基本定理 知识点一 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧 一般的，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为知二推三： （1）平分弦所对的优弧 （2）平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧） （3）平分弦（不是直径） （4）垂直于弦 （5）过圆心。 2、推论： （1）平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。 （4）在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。 3、应用---勾股定理 +（弦心距）2=（半径）2 题型一 定理内容考查 例1．下列语句中不正确的有　　 ①长度相等的弧是等弧； ②垂直于弦的直径平分弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧； ⑤弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 练1．下列说法中，正确的个数有：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条弦．　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二 利用垂径定理求线段 例1．如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为　　 A． B． C． D． 例2．如图，的半径为13，弦，是弦上的一个动点，不在取值范围内的是　　 A．4 B．5 C．12 D．13 例3．如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为　　 A． B． C． D．2 例4．如图，在直角三角形中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为　　． 例5．的直径为，弦，，，则和的距离是　 　． 例6．如图，为内的一个定点，为上的一个动点，射线、分别与交于、两点．若的半径长为3，，则弦的最大值为　　 A． B．3 C． D． 练1．如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，若，则的半径是　　 A． B．2 C．3 D． 练2．是的弦，，垂足为，连接．若中有一个角是，，则弦的长为　　． 练3．如图，半径为10，是弦上一动点，，则的取值范围是　　． 练4．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于、两点，则弦的长的最小值为　　． 题型三 垂径定理应用 例2．如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．如果半径为4，那么的弦长度为　　 A．2 B．4 C． D． 例3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度． 练1．如图，为的直径，弦于点，，，则的半径为 A．5 B．8 C．3 D．10 练2．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为　　 A． B． C． D． 练3．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是，水的最大深度是，则杯底有水面的宽度是　　． A．6 B． C． D． 知识点二 关系定理 在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等 题型一 定理应用 例1．如图，中的弦，与相交于点．求证： （1）； （2）． 练1．如图，，为内两条相交的弦，交点为，且，求证：． 知识点三 圆周角定理 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 推论：在同圆或者等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等 同弧或等弧所对的圆周角等于其弧度的一半 半圆或直径所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 题型一 利用圆周角求角度 例1．如图，是的直径，、、、在上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 例2．如图，四边形内接于，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 例3．如图，点，，，在圆，是圆的直径，，则的度数为　　 A． B． C． D． 例4．如图，点，，在圆上，，则的度数是　　． 例5．如图，点，，在上，，若，求的度数． 练1．如图，四边形内接于，连结．若，，则的大小是　　度． 练2．如图，点、、、均在上，为延长线上的一点，