8.2函数与数学模型课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第8章 8.2 函数与数学模型 学习目标 1.通过对同底数幂的值的研究，理解“指数爆炸”的含义. 2. 通过对幂函数、指数函数和对数函数图象的研究，理解“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式. 3. 能借助信息技术进行数值计算和作出函数图象，比较指数函数、对数函数及幂函数的增长差异. 核心素养：数学抽象、直观想象和数学运算 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 新知学习 一、几个函数模型的比较 1.常见的函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx+b k≠0 反比例（型） 函数模型 y＝+b k≠0 二次函数模型 一般式：y＝ax2+bx+c 顶点式：y＝+ a≠0 指数（型）函数模型 y＝b·ax+c a>0且a≠1，b≠0 对数（型）函数模型 y＝mlogax+n a>0且a≠1，m≠0 幂（型）函数模型 y＝axα+b a≠0 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 2.几类增长的函数模型 （1）一次函数模型 一次函数模型y＝kx+b（k>0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变. （2）指数函数模型 指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”. （3）对数函数模型 对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. （4）幂函数模型 当x>0，α>1时，幂函数y＝xα是增函数，且当x>1时，α越大其函数值的增长速度就越快. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 【归纳】指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较 函数 y＝ax（a>1） y＝logax（a>1） y＝xα（α>0） 在（0，+∞）上的单调性 单调递增，且a越大，增长越快 单调递增，且a越小，增长越快 单调递增，且当x>1时，α越大，增长越快 增长速度 越来越快 越来越慢 随着α值的不同而不同 图象的 变化 随x的增大越来越陡 随x的增大逐渐变缓 随着α值的不同而不同 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 3.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地，在区间（0，+∞）上，尽管函数y＝ax（a>1），y＝logax（a>1）和y＝xα（α>0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上. 随着x的增大，y＝ax（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xα（α>0）的增长速度，而 y＝logax（a>1）的增长速度则会越来越慢. 4.指数函数、对数函数和幂函数的衰减差异 一般地，在（0，+∞）上，尽管函数y＝ax（0<a<1），y＝xα（α<0），y＝logax（0<a<1）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在一个“档次”上. 随着x的增大，函数y＝ax（0<a<1），y＝xα（α<0）的衰减速度会越来越慢，但是它们的函数值始终大于0；而对于函数y＝logax（0<a<1），衰减速度也是越来越慢，但是当x>1时，函数值小于0，并且会越来越小. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例　已知三个变量y1，y2，y3随自变量x变化数据如下表： x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 1 4 16 36 64 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（　） A. y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x B. y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x C. y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x D. y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2 B 【解析】从表格中可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数函数变化；变量y3增长速度最慢， 呈对数函数变化.故选B. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 【注意】选取三个增长函数模型时，应注意： （1）当描述增长速度变化很快时，常选用指数函数模型. （2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常选用对数函数模型. （3）幂函数模型y＝xα（α>0）可以描述增长幅度不同的变化， 当α值较小（α≤1）时，增长较慢； 当α值较大（α>1）时，增长较快. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二、建立函数模型解决实际问题的基本步骤 1.基本思想 【知识必备】数学建模的系统图 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 2.一般步骤 （1）提出问题 实际情境中的问题往往是模糊和笼统的，这就需要透过现象，明确地提出问题. （2）建立模型 在一定知