4.2对数课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第4章 4.2 对 数 学习目标 1.理解对数的概念,能够熟练地转化指数式与对数式. 2.理解对数的运算性质. 3.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 4.了解对数在简化运算中的作用. 核心素养:数学抽象、数学运算 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 新知学习 一、对数的概念 1.对数的概念 一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b 是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数. 【说明】规定a>0且a≠1是因为: (1)若a<0,则当N为某些值时,b的值不存在.如:b=log(-2)8不存在. (2)若a=0,则①当N≠0时,b的值不存在.如:log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在. ②当N=0时,b可以是除零以外的任意实数,是不唯一的,即log00有无数个值. (3)若a=1,则①当N≠1时,b的值不存在.如:log13不存在. ②当N=1时,b可以为任意实数,是不唯一的,即log11有无数个值. 因此规定a>0,且a≠1. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例 在b=loga-2(5-a)中,实数a的取值范围是 . (2,3)∪(3,5) 【解析】由对数的定义知解得a的取值范围是(2,3)∪(3,5). 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 2.指数式与对数式的关系 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,a≠1时,ab=N b=logaN. 在ab=N与b=logaN中,a,b,N是同一个代表符号,只是有不同的名称. 【注意】并非所有的指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log-39=2,只有符合a>0,a≠1,才有ab=N b=logaN. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 【归纳】指数式ab=N,根式=a和对数式logaN=b(N>0,a>0,a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.具体对应如下: 表达形式 a b N 对应的运算 ab=N 底数 指数 幂 乘方,由a,b求N =a 方根 根指数 被开方数 开方,由N,b求a logaN=b 底数 对数 真数 对数,由N,a求b 由此可知:开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例 将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式: (1)log216=4; (2)27=-3; (3)loge10≈2.303; (4)43=64; (5)3-2=; (6)10-3=0.001. 【解】(1)24=16; (2)=27; (3)e2.303≈10; (4)log464=3; (5)log3=-2; (6)log100.001=-3. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 3.自然对数与常用对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫作常用对数 log10N记为lg N 自然对数 以e为底的对数叫作自然对数,e是无理数,e=2.718 28… logeN记为ln N 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 4.对数的性质 (1)负数和0没有对数. (2)1的对数等于0,即loga1=0(a>0,a≠1). (3)底数的对数等于1,即logaa=1(a>0,a≠1). (4)对数恒等式=N(a>0,a≠1). (5)logaax=x(a>0,a≠1). 【点拨】(1)=N的作用在于能够把任意一个正实数转化为以a为底数的指数形式. (2)logaax=x的作用在于能够把任意一个实数转化为以a为底数的对数形式. 因为真数大于0. 因为a0=1,所以loga1=0. 因为a1=a,所以logaa=1. 因为设x=logaN,所以ax=N,将x=logaN代入ax=N,即得=N. 因为设ax=N logaN=x,所以将ax=N代入logaax,可得logaax=x(a>0,a≠1). 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例 求下列各式中的x. (1)log27x=-;(2)logx16=-4;(3)lg=x;(4)-ln e-3=x. 【解】(1)因为log27x=-,所以x===3-2=; (2)因为logx16=-4,所以x-4=16,即x-4=24,所以=24,所以=2,即x=; (3)因为lg=x,所以10x=10-3,所以x=-3; (4)因为-ln e-3=x,所以-x=ln e-3,即e-x=e-3,-x=-3,所以x=3. 【方法技巧】求对数式logaN(a>0,且a≠1,N>0)的值的步骤 (1)设logaN=m; (2)将logaN=m写成指数式am=N; (3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二、对数的运算性质 1.对数的运算性