二次函数综合 2023年九年级数学中考复习

二次函数综合 2023九年级数学中考复习 1．如图，已知二次函数（其中的图象与轴交 于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．设为对称轴上的点，连接、， （1）的度数为　　； （2）求点坐标（用含的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在着点（与原点不重合），使得以、、为顶点的三角形 与相似，且线段的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数（其中，是常数，且， 的图象与轴分别交于点、（点位于点的左侧），与轴交于，点在二次函数的图象上，，连接，过点作射线交二次函数的图象于点，平分． （1）用含的代数式表示； （2）求证：为定值； （3）设该二次函数图象的顶点为，探索：在轴的负半轴上是否存在点，连接， 以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点即可，并用含的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，抛物线 经过点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接、，设点 的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值； （3）在（2）的条件下，当取得最大值时，动点相应的位置记为点． ①写出点的坐标； ②将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在 旋转过程中，直线与线段交于点，设点、到直线的距离分别为、，当最大时，求直线旋转的角度（即的度数）． 4．如图，已知抛物线与轴交于点，（点位于点的左侧）， 为顶点，直线经过点，与轴交于点． （1）求线段的长； （2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为．若新抛物线经过点，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线平行于直线，求新抛物线对应的函数表达式． 5．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于 点，．点在函数图象上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点． （1）求、的值； （2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标； （3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 6．如图，已知抛物线（且与轴分别交于、 两点，点在点左边，与轴交于点，连接，过点作交抛物线于点，0为坐标原点． （1）用表示点的坐标，　 　； （2）若，连接， ①求出点的坐标； ②在轴上找点，使以、、为顶点的三角形与相似，求出点坐标； （3）若在直线上存在唯一的一点，连接、，使，求的值． 7．已知抛物线的顶点是，，为常数），并经过点，点为一 定点． （1）求抛物线的解析式；（用含字母的代数式表示） （2）设点是抛物线上任意一点，过作轴，垂足是，试探究与的大小 关系，并说明理由； （3）设过原点的直线与抛物线在第一象限相交于、两点，若，且 ，求的值． 8．如图，二次函数的图象与轴交于、两点， 与轴交于点，已知点，点 （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形的面积最大时，求点 的坐标； （3）若点为抛物线上任意一点，点为轴上任意一点，当以，，，为顶点的 四边形是平行四边形时，写出满足条件的所有点的坐标． 9．如图，已知二次函数是常数，的图象 与轴分别相交于点、（点位于点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．点关于的对称点为，连接．点为该函数图象上一点，平分． （1）①线段的长为　 　． ②求点的坐标；①、②中的结论均用含的代数式表示） （2）设是该函数图象上一点，点在上．探索：是否存在点．使得以、、、 为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由． 10．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，线段的两个端点， 分别在轴和轴的正半轴上，点为线段的中点，现将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点． （1）如图1，若该抛物线经过原点，且． ①求点的坐标及该抛物线的解析式； ②连结，问：在抛物线上是否存在点，使得与互余？若存在，请求出所 有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由； （2）如图2，若该抛物线经过点，点在抛物线上，且满足 与互余．若符合条件的点的个数是4个，请直接写出的取值范围． 11．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值； （2）作，使，且，求点坐标； （3）在（2）的条件下，过点作直线轴于点，交抛物线于点， 将该抛物线向左或向右平移个单位长度，记平移后点的对应点为，点的对应点为．当的值最小时，请直接写出的值和平移后相应的抛物线解析式． 12．如图，已知抛物线为常数，且与轴从 左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另