热点8-2 椭圆及其应用8大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点8-2 椭圆及其应用6大题型 椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。 一、椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 二、直线与椭圆相交的弦长公式 1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2、求弦长的方法： （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： 三、解决椭圆中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为， 则有。 【题型1 椭圆的定义及概念辨析】 【例1】（2022·全国·高三专题练习）在平面上，动点与两个定点，的距离之和为，若，则点的轨迹为（ ） A．线段 B．两条射线 C．椭圆 D．不存在 【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）设定点，，动点满足条件，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段或不存在 【变式1-2】（2022秋·四川广安·高三广安二中校考期中）若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则P到另一个焦点的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点到右焦点的距离为2，点是上一点，且，则___________. 【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆上，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是中点，且ON长度是4，则的长度是__________． 【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）平面内一点M到两定点 的距离之和等于12，则点M的轨迹是______. 【题型2 利用椭圆定义求最值】 【例2】（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____． 【变式2-2】（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）已知椭圆C的一个焦点为，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为______；若P为椭圆C上一动点，，则的最小值为______． 【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-4】（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）（多选）已知点，，为圆上的点，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【变式2-5】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）若平面向量满足，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型3 椭圆的标准方程】 【例3】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）若m，，且则“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ） A．充分而不必要条件