2023年九年级数学中考专题复习 存在性系列：直角三角形的存在性

存在性系列：直角三角形的存在性 2023九年级数学中考复习 （1）等腰直角三角形的存在性 1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点． （1）求线段的长度； （2）若点在第二象限，且为等腰直角三角形，求点的坐标； 2．（1）问题解决： ①如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，点、的坐标分别为　　、　　． ②求①中点的坐标． 小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点向轴作垂线交轴于点．请你借助小明的思路，求出点的坐标； （2）类比探究 数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图2，在平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，过点作轴垂线，点是上一动点，点是在一次函数图象上一动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点与点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与 轴交于点，其中，满足． （1）求直线的解析式； （2）已知平行于轴左侧有一动直线，分别与，交于点、，且点在 点的下方，点为轴上一动点，且为等腰直角三角形，请求出满足条件的点的坐标． （2）相似中的直角三角形的存在性问题 4．如图，在直角坐标系中，的直角顶点在轴上，，．动点从 点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点移动； 同时点从点出发，以每秒 1.25 个单位长度的速度， 沿向终点移动．当两个动点运动了秒时，解答下列问题： （1）求点的坐标 （用 含的代数式表示） ； （2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，在四边形中，，．，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． （1）用含的代数式表示； （2）当时，求的值． 6．如图1，中，，，，是的中点．点从 出发，以的速度沿匀速向点运动，点同 时以的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动 点也随之停止运动，过点作的垂线，交于点，连接，．设它们运动的时间为秒．当时，是否存在某个时间，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知点，分别在轴和轴上，且，点的坐标是， 与相交于点．点从出发以每秒1个单位的速 度从运动到，过作直线分别交线段，（或线段，于，．解 答下列问题： （1）直接写出点的坐标和直线的解析式． （2）设线段的中点为，运动的时间为，求当为何值时，为直角三角形． 8．如图，矩形中，是上一点，点是点关于点的对称点，过点作对角线的平行线，交的延长线于点，连接并延长与矩形的边、对角线于点、． （1）试判定的形状，并说明理由． （2）若，连接，当为直角三角形时，求的值． 答案版： （1）等腰直角三角形的存在性 1． 【解答】解：（1）直线分别与轴，轴交于，两点， ，，，， 由勾股定理得： （2）为等腰直角三角形，分三种情况进行讨论． ①当时，此时，此时，； ②当时，此时，此时，； ③当时，此时时，，此时，． 的坐标，；，；，． 2． 【解答】解：（1）证明：如图1，为等腰直角三角形， ，， 又，， ，， ， 在与中， ， ； （2）①如图2，过点作，交于，过作轴于， ， 为等腰直角三角形， 由（1）可知：， ，， 直线中，若，则；若，则， ，， ，， ， ， 设的解析式为，则 ， 解得， 的解析式：； ②，． 理由：当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况： 当点在矩形的内部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线 于， 设，则，，， 由（1）可得，，则， 即：， 解得， ， ， 此时，，，符合题意； 当点在矩形的外部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 同理可得：，则， 即：， 解得， ， ，， 此时，，，，符合题意． 3． 【解答】解：（1）由，得 ，， 即，， 设的解析式为，将，点坐标代入函数解析式，得 ， 解得， 的解析式为； （2）设点的坐标为，， 点在点的下方， ， 如图2， 当时，即轴，，， 解得，即，， ； 如图3， 当时，即轴，，， 解得，即，， ， 如图4， 当时，即轴，，， 解得， ． 综上所述：点的坐标为或或． （2）相似中的直角三角形的存在性问题 4． 【解答】解： （1） 根据题意得：，， 在中， 由勾股定理得：， 作于，如图 1 所示： 则， ， ， 即， 解得：，， 点的坐标是； （2）存在某一时刻， 使是直角三角形， 理由如下： 分两种情况：①若，如图 2 所示： 则， 此时，， ， ， ， 即， 解得：； ②若，如图 3 所示： 则， 此时，， ，， ， ， 即， 解得：； 综上所述：的值是 2 秒或秒 ． 5． 【解答】解：（1）如图作于，