导数专题二：同构思想的应用（解答题专练）-2023届高三数学二轮复习

数学二轮复习 导数专题：同构思想的应用（解答题） 1. 分离双变量，同构 例1.已知函数f（x）＝lnx﹣mx2﹣x． （1）若是f（x）的一个极值点，求f（x）的最大值； （2）若，x1≠x2，都有x2f（x1）﹣x1f（x2）＞x1x2（x2﹣x1），求实数m的取值范围． 变式1：已知函数f（x）＝． （1）判断f（x）在（0，+∞）的单调性； （2）若x＞0，证明：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2． 二.双变量换元后同构 例3：已知函数f（x）＝2a（lnx﹣x）+． （1）若a＝，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）的两个极值点为x1，x2，且x2＞e2x1，不等式f（x1）﹣f（x2）＞b（x12﹣x22）恒成立，求实数b的取值范围． 三.指对互化同构 例2、已知函数． （1）当时，求曲线在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若，求的取值范围． 【变式2】恒成立（）,求实数的取值范围. 跟踪练习: 1.设函数f（x）＝lnx+，m∈R． （Ⅰ）当m＝e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值； （Ⅱ）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数； （Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围． 2. 证明：的图象恒在的图象的下方。 3.已知函数. （1）求证：； （2）若，都，求k满足的取值范围． 4.已知． （1）求的单调区间; （2）当时（为自然对数的底数），若对于，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 5. 已知函数，. （I）当时，若曲线与直线相切，求k的值； （II）当时，证明：； （III）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 6.（选作）．已知函数，． （1）若函数在处取极小值，求实数的值； （2）设，若对任意，不等式恒成立，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学二轮复习 导数专题：同构思想的应用（解答题） 1. 分离双变量，同构 例1.已知函数f（x）＝lnx﹣mx2﹣x． （1）若是f（x）的一个极值点，求f（x）的最大值； （2）若，x1≠x2，都有x2f（x1）﹣x1f（x2）＞x1x2（x2﹣x1），求实数m的取值范围． 【解析】（1）， 由题意得，即2﹣m﹣1＝0，所以m＝1， 所以＝， 当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0， 所以f（x）在上单调递增，在上单调递减． 所以＝． （2）由题意得，x1≠x2都有x2f（x1）﹣x1f（x2）＞x1x2（x2﹣x1） ， 令函数＝＝， 当x1＞x2时，g（x）在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 所以h（x）在上单调递减，故h（x）min＝h（e）＝0， 所以实数m的取值范围为（﹣∞，1]． 同理，当x1＜x2时，g（x）在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 所以h（x）在上单调递减，故． 所以实数m的取值范围为[2e2+1，+∞）， 综上，实数m的取值范围为（﹣∞，1]∪[2e2+1，+∞）． 变式1：已知函数f（x）＝． （1）判断f（x）在（0，+∞）的单调性； （2）若x＞0，证明：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2． 【解析】（1）由函数f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞） ∴f′（x）＝，设g（x）＝﹣ln（1+x）， ∴g′（x）＝﹣＝＜0， ∴g（x）在（0，+∞）为减函数，∴g（x）＜g（0）＝0， ∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）为减函数； （2）（ex﹣1）ln（x+1）＞x2等价于＞， ∵＝＝， ∴原不等式等价于＞， 由（1）知，f（x）＝是（0，+∞）上的减函数， ∴要证原不等式成立，只需要证明当x＞0时，x＜ex﹣1， 令h（x）＝ex﹣x﹣1，∴h′（x）＝ex﹣1＞0， ∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，∴h（x）＞h（0）＝0， 即x＜ex﹣1，∴f（x）＞f（ex﹣1）， 即＞＝＞， 故（ex﹣1）ln（x+1）＞x2． 二.双变量换元后同构 例3：已知函数f（x）＝2a（lnx﹣x）+． （1）若a＝，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）的两个极值点为x1，x2，且x2＞e2x1，不等式f（x1）﹣f（x2）＞b（x12﹣x22）恒成立，求实数b的取值范围． 【解析】（1）当时，， ．因为f'（1）＝1，， 所以所求切线方程为，即2x﹣2y﹣3＝0． （2）因为，所以x1，x2是方程x2﹣2ax+2a＝0的两个正根． 令g（x）＝x2﹣2ax+2a，则，解得a＞2． 因为x1+x2＝x1x2＝2a， 所以＝． 由，可得． 因为x1x2＞0，所以，即恒成立． 令，因为，所以t＞e2，则，整理得． 令，t＞e2，则．