热点8-1 直线与圆8大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点8-1 直线与圆8大题型 1、直线方程、直线的平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度不大； 2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，多以选择题或填空题的形式考查； 3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。 一、平行和垂直的直线的设法 1、平行：与直线垂直的直线方程可设为 2、垂直：与直线垂直的直线方程可设为 二、直线与圆相交时的弦长求法： 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 三、直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 四、与圆的切线相关的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为； 2、过上一点的圆的切线方程为 3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 4、若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 5、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 五、两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【题型1 直线方程、倾斜角与斜率】 【例1】（2023·高三课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）（多选）已知直线：，直线：，过点的直线与，的交点分别为.且，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·高三课时练习）直线过相异两点和，则的倾斜角的范围是______. 【变式1-4】（2022·全国·高三专题练习）直线与的夹角为________． 【题型2 直线的平行与垂直问题】 【例2】（2023·吉林·统考二模）已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ） A．1 B．3 C．8 D．9 【变式2-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）是直线与直线垂直的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2-2】（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）若直线与直线平行，其中、均为正数，则的最小值为______． 【变式2-3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数在处的切线与直线平行，则a＝______． 【变式2-4】（2023·安徽合肥·统考一模）函数在点处的切线与直线平行，则实数______． 【题型3 圆的标准方程与一般方程】 【例3】（2023·陕西咸阳·校考一模）圆心在轴，半径为1，且过点的圆的标准方程是_____. 【变式3-1】（2022秋·福建泉州·高三校考开