3.1不等式的性质课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 §3 不等式 3.1　不等式的性质 1.能够用作差法比较两个数或式的大小. 2.理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 3.会用不等式的性质证明不等式或解决相关问题. 核心素养：数学运算、数学抽象、逻辑推理 学习目标 高中数学 必修第一册 北师大版 情境导学 新知学习 某商场换季促销,降价的方案有两种: 一是商品8折后再6折销售, 二是商品7折后再7折销售. 作为消费者,你希望商场采用哪一种方案呢? 若将降价的方案改为: 一是商品a折后再b折销售,二是商品折后再折销售. 你希望商场采用哪一种方案呢? 高中数学 必修第一册 北师大版 探究新知 一、实数的大小比较 比较实数a,b大小的依据 若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是　　　　　. x2-1>2x-5 解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5. 如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么. 反过来也成立. 　    即时巩固 高中数学 必修第一册 北师大版 二、不等式的性质 名称 表达式 性质1(传递性) 如果,且,那么. 性质2(可加性) 如果,那么. 性质3(乘法法则) 如果,那么; 如果,那么. 性质4(同向不等式可加性) 如果,那么 性质5(不等式的可乘性) 如果,那么; 如果,那么. 乘方法则:当时,,其中. 性质6(开方法则) 当时,,其中. 高中数学 必修第一册 北师大版 名师点析 1.注意“等式”与“不等式”的异同,如: 2.要注意各个不等式成立的前提,如性质4中两个不等式方向要相同,性质3中要按c的正负分情况. 3.由性质2,可得a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b.即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.称为移项法则,在解不等式时经常用到. 4.倒数法则:如果a>b,ab>0,那么.结论成立的条件是a、b要同号. 等式 不等式 说明 改变不等式方向 讨论的符号 高中数学 必修第一册 北师大版 1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.(　　) (2)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　) (3)若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.(　　) (4)当x>-3时,一定有<-.(　　) (5)若a>b,则.(　　) × 即时巩固 2.若a>b,则下列各式正确的是(　　) A.a-2>b-2 B.2-a>2-b C.-2a>-2b D.a2>b2 × × × × A 高中数学 必修第一册 北师大版 例1 比较下列各组中的两个代数式的大小: (1)2x2+3与x+2,x∈R; (2)a+2与,a∈R,且a≠1. 分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨论. 典例剖析 实数大小的比较 解:(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2>0,所以2x2+3>x+2. (2)(a+2)-. 由于a2+a+1=>0, 所以当a>1时,>0,即a+2>; 当a<1时,<0,即a+2<. 高中数学 必修第一册 北师大版 反思感悟 用作差法比较实数大小的步骤 作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是: (1)作差; (2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等; (3)定号,即确定差的符号; (4)下结论,写出两个代数式的大小关系. 解:p-q=a2-a+1-, 由于 a+ 2+>0,a2+1>0,a2≥0,故p-q≥0,即p≥q,当且仅当a=0时,等号成立. 变式训练 若a∈R,p=a2-a+1,q=,比较p与q的大小. 高中数学 必修第一册 北师大版 1.应用不等式性质判断命题真假 例2 对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确: (1)若a>b,则ac2>bc2;(2)若a<b<0,则a2>ab>b2;(3)若c>a>b>0,则; (4)若a>b,,则a>0,b<0;(5)若a<b<0,则. 分析:判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质,经过合理的逻辑推理即可. 典例剖析 不等式基本性质的应用 解:(1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误. (2)由可得a2>ab.因为所以ab>b2,从而有a2>ab>b2.故该结论正确. (3)由a>b>0,可得 -a<-b<0.因为c>a>b,所以0<c-a<c-b,因此>0,于是.故该结论正确. (4)由,可知>0.因为a>b,所以b-a<0,且ab<0.又因为a