4.2 简单幂函数的图象和性质课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二章 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2　简单幂函数的图象和性质 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式. 2.结合幂函数的图象,理解它们的变化规律. 3.能利用幂函数的基本性质解决相关问题. 核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理 学习目标 高中数学 必修第一册 北师大版 情境导学 新知学习 同学们,请你写出: (1)棱长为x的正方体体积y; (2)面积为x的正方形的边长y. 显然(1)y=x3;(2)y=,即y=.这两个函数都是幂函数. 幂函数在生活、建筑、军事等多个领域都有着重要的应用.那么幂函数如何定义?它的图象和性质是怎样的呢? 高中数学 必修第一册 北师大版 探究新知 一、幂函数的定义 一般地,形如　　　　　(α为常数)的函数,即　　　　是自变量、　　　　是常数的函数称为幂函数.  y=xα 底数 指数 名师点析 1.幂的指数是一个常数,它可以取任意实数; 2.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数y=5 就不是幂函数. 3.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同. 即时巩固 在函数①y=,②y=3x2,③y=x2+2x中,幂函数的序号为　　　　　.（填序号） ① 高中数学 必修第一册 北师大版 二、幂函数的图象和性质 1.常见的五种幂函数的图象 可以发现任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内无图象. 高中数学 必修第一册 北师大版 2.幂函数的性质 幂函数 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数   单调性 在R上是　 　　  在[0,+∞)上　 　, 在(-∞,0]上　 　  在R上是　   在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上　　 　, 在(-∞,0)上　 　　  公共点 (0,0),　　　  (1,1) [0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) 奇函数 偶函数 既不是奇函数,也不是偶函数　 奇函数 增函数 单调递增 单调递减 增函数 单调递减 (1,1) 单调递减 高中数学 必修第一册 北师大版 名师点析 幂函数y=xα的上述性质可归纳如下: (1)当α>0时,图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增. (2)当α<0时,图象都通过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近. 即时巩固 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.(　　) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).(　　) × × 高中数学 必修第一册 北师大版 即时巩固 (1)函数y=的图象是(　　) (2)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2, ),则函数f(x)为(　　) A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C C C 高中数学 必修第一册 北师大版 例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值. 解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3. 反思感悟 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式. 幂函数的概念 分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值. 典例剖析 高中数学 必修第一册 北师大版 变式训练 如果幂函数的图象不过原点,求实数m的取值. 解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件; 当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2. 高中数学 必修第一册 北师大版 例2 已知函数y=xa,y