4.1函数的奇偶性课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二章 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.了解奇函数、偶函数图象的特征. 3.会判断(或证明)函数的奇偶性. 核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理 学习目标 高中数学 必修第一册 北师大版 情境导学 新知学习 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,是各种民俗活动的重要组成部分.其传承延续的视觉形象和造型样式,蕴涵了丰富的历史文化信息,表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值. 折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法,它折法简明,制作简便,尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式,这种对称给人一种美的享受. 我们学习过的函数图象中,也有很多这样的对称现 象,请你想一想哪些函数的图象是对称的,都有哪些 对称方式? 高中数学 必修第一册 北师大版 探究新知 一、奇、偶函数的定义 注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.   奇函数 偶函数 条件 一般地,设函数的定义域是,如果对任意的,有,且 结论 函数为奇函数 函数为偶函数 图象特征 图象关于原点对称 图象关于轴对称 定义域特征 奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称. 高中数学 必修第一册 北师大版 名师点析 1.判断函数的奇偶性要“二看” (1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数. (2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系: ①f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数; ②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数; ③f(-x)≠±f(x)⇔f(x)既不是奇函数,也不是偶函数; ④f(-x)=±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,且D关于原点对称. 2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性 设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论: 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 高中数学 必修第一册 北师大版 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)若f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.(　　) (2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.(　　) (3)若f(-2)=f(2),则f(x)(x∈R)是偶函数.(　　) (4)若f(x)(x∈R)是偶函数,则f(-2)=f(2).(　　) (5)若f(2)≠f(-2),则f(x)(x∈R)不是偶函数.(　　) (6)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).(　　) 即时巩固 × × × √ √ √ 思考 已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0∈D,f(0)是否为定值? 提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值. 高中数学 必修第一册 北师大版 二、函数奇偶性与单调性的关系 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”. 2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数. 名师点析 1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性. 2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征. 高中数学 必修第一册 北师大版 若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]