6.4.3 第三课时余弦定理、正弦定理的应用举例-【高效课堂】2022-2023学年高一数学同步精讲课件（人教A版2019必修第二册）

§6.4.3-3 余弦定理、正弦定理的应用举例 6.4 平面向量的应用 高中数学人教A版必修第二册 第六章 平面向量及其应用 名称术语 距离问题 高度问题 角度问题 1 2 3 4 目录 温故知新 1.余弦定理 2.正弦定理 3.三角形面积公式 3 情境引入 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题. 解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量. 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况. 需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件. 事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案. 4 预备知识 基线 【定义】在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 仰角 【定义】在同一铅垂平面内，视线在水 平线上方时与水平线的夹角。 仰角 【定义】在同一铅垂平面内，视线在水 平线下方时与水平线的夹角。 【图示】 【图示】 预备知识 方向角 【定义】从正北或正南方向到目标 方向所形成的小于九十度 的角。 【图示】 方位角 【定义】从某点的指北方向线起依 顺时针方向到目标方向线 之间的水平夹角。 【图示】 距离问题 例1.如图，两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量 两点间距离的方法，并求出间的距离. 分析：若测量者在，两点的对岸取定一 点(称作测量基点)，则在点处只 能测出的大小，因而无法解决 问题为此。 可以再取一点，测出线段的长， 以及， ， ，这样 就可借助正弦定理和余弦定理算出距 离了。 解：如图，在两点的对岸选定两点， 测得，并且在两点分别测得 ，，，. 在和中，由正弦定理，得 于是，在中，由余弦定理可得两点间的距离 距离问题 例1.如图，两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量 两点间距离的方法，并求出间的距离. 距离问题 思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？ 【分析】先求的长度，进而在三角形中， 求间的距离 【结论】在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决 问题的方案，但有些过程较繁复如何找到最优的方法，最 主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最 佳的计算方式 距离问题 为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴 例2.如图，早在年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林(点)与好望角(点)为基底，测量出的大小，并计算出两地之间的距离，进而算出了地球与月球之间的距离约为. 距离问题 (1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题， 一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决. (2)测量两个不可到达的点之间的距离问题， 一般先把球距离问题转化为运用余弦定理,求三角形的边长的问题，然后把球未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点之间距离的测量问题，最后运用正弦定理解决. 策略 (1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解. (2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理； 当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理. 注意点 11 高度问题 例3.如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度. 先由锐角三角函数知识可知，只要获得一点(点到地面的距离可求)到建筑物的顶部的距离 ，并测出由点观察的仰角，就可以计算出建筑物的高度。为此应再选取一点 ，构造另一个含有的，并进行相关的长度和角度的测量然后通过解三角形的方法计算出 【分析】 高度问题 例3.如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度. 解：如图，选择一条水平基线，使三点在同一条直线上. 在两点用测角仪器测得的仰角分别是，， ，测角仪器的高是. 那么，在中，由正弦定理， 得 所以，这座建筑物的高度为 高度问题 (1)“空间”向“平面”的转