6.4.3 第三课时 余弦定理、正弦定理应用举例（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．认识实际测量中的有关名称和术语． 2．会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题． 重点 难点 重点：能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题． 难点：能将实际问题转化为解三角形问题. 1．基线的概念与选择原则 (1)定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的_____叫做基线． (2)性质 在测量过程中，应根据实际需要选取合适的_________，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越___． 线段 基线长度 高 2．测量中的有关概念 (1)方位角：从正北方向_______转到目标方向线的角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是0°≤θ＜360°. (2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方向线与目标方向线所成的___________的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，图1中表示北偏东30°，图2中表示南偏西60°. 顺时针 小于90° (3)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的_________和_________的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做_____；目标视线在水平视线下方时叫做_____．如图所示． (4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做_____． 水平视线 目标视线 仰角 俯角 视角 1．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为 (　　) A．α＋β B．α－β C．β－α D．α 答案：C 3．甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是________km. 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．　 [对点训练] 1．A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________km. 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形； (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用几何知识与方程思想．　　 [对点训练] 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，接着沿泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°.则李明同学求出泉标的高度为________m．(精确到1 m) [典例]　某公司想投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________. (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题． (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．　　 一、在典题训练中内化学科素养 近两年，正、余弦定理在实际应用中的考查在高考中体现的特别明显，其正符合了数学建模的核心素养；解决此类问题的关键是能做出示意图，故涉及直观想象的核心素养． 1．(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝ (　　) 数学建模 根据实际情况建立数学模型 直观想象 有时需借助图形解题 数学运算 利用正、余弦定理代入数据解题 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CA