2023年中考数学备考-8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型 关键词 8字模型 飞镖模型 8字模型 如图所示,AC、BD相交于点O,连结AD、BC,则有 . 因为这个图形像数字8,所以我们把这个模型称为8字模型. 8字模型的证明: 证法一:∵ ∴. （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和） 证法二:∵ ∴ ∵ ∴. 点评 8字模型的结论常被用来求角度或证明两个角相等,多出现在几何综合题中. 有些复杂的几何问题,应用8字模型的结论,往往会出奇制胜,达到意想不到的效果（见后面的例题）. 飞镖模型 如图所示,有结论: . 因为这个图形像飞镖,所以我们把这个模型称为飞镖模型. 飞镖模型常被用来推导几何图形中角之间的等量关系. 飞镖模型的证明: 证法一:延长BC,交AD于点E,如下图所示. ∵ ∴. 证法二:作射线AC,如下图所示. ∵ ∴ ∴. 模型举例 例1. 如图所示,求证:. 证法一:（飞镖模型） 设BD与CE相交于点F,如图所示. ∵ ∴ ∵ ∴. 证法二:（8字模型） 连结CD,如图所示,则有 ∵ ∴ ∴. 证法三: （利用三角形内角和定理与外角和定理） ∵ ∴. 例2. 如图所示,_________. 解法一:（利用8字模型） ∵ ∴ ∵ ∴. 解法二: （利用三角形内角和定理与外角和定理） ∵ ∴ ∵ ∴. 例3. 如图所示,_________. 解:（利用飞镖模型） 设BD与CE相交于点F,如图所示. ∵ ∴ ∵ ∴. 例4. 如图,△ABC和△DCE均是等腰三角形,, . （1）求证:; （2）若,求的度数. 第8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）证明:∵ ∴ ∴ 在△BCD和△ACE中 ∵ ∴△BCD≌△ACE（SAS） ∴; （2）解: 方法一:∵△BCD≌△ACE ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 方法二:∵ ∴ ∵ ∴ ∵△BCD≌△ACE ∴ ∵ ∴ ∵ ∴. 点评 方法二用到了“8”字模型的结论,如下图所示. 例5. 如图所示,△ABC和△ADE都是等腰 直角三角形,BD与CE相交于点M,BD与AC 交于点N. 求证:（1）;（2）. 证明:（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 在△ABD和△ACE中 ∵ ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴; （2）∵△ABD≌△ACE ∴ ∵（8字模型） ∴ ∴. 例6.（1）问题发现 如图1,△ABC和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.填空: ①的度数为_________; ②线段AD、BE之间的数量关系为_________; （2）拓展探究 如图2,△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE的高,连结BE,请写出的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由. 解:（1）①; ②; 提示: ∵△ABC和△DCE均为等边三角形 ∴ ∴ ∴ 在△ACD和△BCE中 ∵ ∴△ACD≌△BCE（SAS） （属于“手拉手”全等模型） ∴ ∵ （属于“8”字模型） ∴. （2）解:, ; 理由如下: ∵ ∴ ∴ ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形 ∴ 在△ACD和△BCE中 ∵ ∴△ACD≌△BCE（SAS） ……………………………………7分 ∴ ∵ ∴ ……………………………………8分 ∵ ∴CM平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴. $