精品解析：吉林省梅河口市第五中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题

数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ） A. 1 B. C. i D. 2. 设集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表： 苗木长度x（cm） 38 48 58 68 78 88 售价y（元） 168 18.8 20.8 22.8 24 25.8 若苗木长度x（cm）与售价y（元）之间存在线性相关关系，其回归方程为，则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为（ ） A. 148cm B. 150cm C. 152cm D. 154cm 4. 的展开式中，含项的系数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 表面积为的球内有一内接四面体，其中平面平面，是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 为抛物线的焦点，点在上且，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，其中（）且（），则下列结论一定正确是（ ） A. B. C. D. 11. 长方体中，，，，则（ ） A. 到平面的距离为 B. 到平面的距离为 C. 沿长方体的表面从到的最短距离为 D. 沿长方体的表面从到的最短距离为 12. 下列不等式成立是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若向量，，且，共线，则______． 14. 若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数______． 15. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______． 16. 已知是各项均为正整数的数列，且，，对任意，与有且仅有一个成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求C； （2）若c＝4，，求a． 18. 记为公比不为1的等比数列的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和． 19. 如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F，G分别为AC，，的中点，． （1）求证：； （2）若直线FG与平面BCD所成角的正弦值为，求AD的长． 20. 袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励． （1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到4张卡片都是苹果卡片的概率； （2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望； （3）该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由． 21. 已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）不经过点的直线与椭圆相交于，两点，关于原点的对称点，直线，与轴分别交于，两点，求证：. 22 已知． （1）求证：当x>0时， （2）若不等式，（其中）恒成立时，实数m的取值范围为（-∞，t]，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求得，利用复数