2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--相似三角形的应用

2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--相似三角形的应用 一、综合题 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC=3，OD=2，将经过A、B两点的直线l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，设AE的长为t（t≥0）． （1）四边形ABCD的面积为　 　； （2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请直接写出S关于t的函数解析式； （3）当t=2时，直线EF上有一动点，作PM⊥直线BC于点M，交x轴于点N，将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF，探究：是否存在点P，使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知：正方形纸片ABCD的边长为4，将该正方形纸片沿EF折叠（E，F分别在AB，CD边上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P． （1）如图①，连接PE，若M是AD边的中点． ①写出图中与△PMD相似的三角形． ②求△PMD的周长． （2）如图②，随着落点M在AD边上移动（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明你的理由． 3．如图，已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣ x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+ x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F． （1）试求该抛物线表达式； （2）如图（1），四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标； （3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC． ①求证：△ACD是直角三角形； ②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？ 4．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s． （1）几秒后P，Q两点相距25cm？ （2）几秒后△PCQ与△ABC相似？ （3）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由． 5．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x. （1）用含x的代数式表示线段DG的长； （2）设△DEF的面积为 y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； （3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由. 6．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上（不含点B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． （1）当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE； （2）通过观察、测量、猜想： =　 　，并结合图②证明你的猜想； （3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求 的值．（用含α的式子表示） 7． （1）[问题发现] 如图1，已知线段 和 ， ， ，则线段 的最小值为　 　. （2）[问题探究] 如图2，矩形 中， ， ，P为矩形内部一点，分别连接 、 、 ，且 ，延长 交 于点F，若 ，求 的值； （3）[问题解决] 如图3是某街心花园的一角，在扇形AOB中， ， 米，在矮围墙 和 上分别有两个入口C和D， 米，D为 的中点，现要在 上找一个出口E，沿 、 从入口到出口铺设两条景观小路.已知铺设小路 所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路 所用的景观石材每米的造价是400元，则在 上是否存在点E，使铺设小路 和 的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线 的距离；若不存在，请说明理由.（小路的宽度忽略不计） 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，OC=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N． （1）填空：经过A，B，D三点的抛物线的解析式是　 　； （2）已知点F在（1）中的抛物线的对称轴上，求点F到点B，D的距离之差的最大值； （3）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样