一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化（7）2023年四省联考第21题解析

2023四省联考圆锥曲线21题“一题多解” ——谈谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化 【方法策略简述】 一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、定点、定值等问题及存在探索性问题. 二、解决此类问题的方法策略主要有三种： 1、根与系数的关系法（主流方法）． 设出动直线的方程（），与圆锥曲线方程联立消元得到关于的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解． 2、多变量多参数联动变换法（圆曲不联立）． 此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验． 3、设点求点法． 方法1、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线与椭圆的交点易求出． 【2023‧四省联考‧21】 已知双曲线过点,且焦距为10. （1）求的方程； （2）已知点，为线段上一点，且直线交于，两点.求证：. 【解析】 （1）由解得，故的方程为 （2）法一、（反设直线联立） 设直线，令得，故， 设， 由得，则， 要证，只需证，即证， 易验证此式成立.故成立. 法二、（点参设直线联立+向量法） 设，则，且，直线， 设， 由得，则. 所以，故. 法三、（设点不联立） 设，由三点共线可得， 两边平方得 又由得代入式化简得 要证，只要证即证 故得证. 法四、（设点不联立） 设，由三点共线可得， 又由得 要证，只要证，即证 而 即成立. 故得证. 法五、（万能换元不联立） 设 由三点共线可得，化简得 要证，只要证，即证 即证，即证 即证 将代入式，成立.故得证. 学科网（北京）股份有限公司 $