最值问题：将军饮马1 2023年中考数学复习讲义

最值问题之将军饮马（1） 基础模型：一定直线，两固定点。 结论说明：①两点之间线段最短；三角形两边之和大于第三边。 ②轴对称线段相等转化。 两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 1.1例题解析，教材全解 例1.在定直线上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小. 作法：连接AB，与直线的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线的交点Q，P为直线上任意一点， 在△PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦) 例2.在定直线上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小， 即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线的对称点C，连接AC，与直线的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线的交点Q，P为直线上任意一点， 在△PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦) 1.2豫备中考，限时训练 【2021永州16,4】如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是 　 　． 如图，E是正方形ABCD边BC上一点，CE=2，BE=6，P是对角线BD上的一动点，则AP+PE的最小值是_________。 如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走_________。 【2017天津11，3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长等于BP+EP的最小值是（ ） A．BC B．CE C．AD D．AC 如图1，在边长为4的正三角形ABC中，已知E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上的一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是______. 【2021青海西宁17，2】如图2，△ABC是等边三角形，AB=6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是________。 【2015四川攀枝花15，4】如图3，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为　 　。 图1 图2 图3 【2020青海西宁18，2】如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点D在BC边上，且CD=5，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为__________。 【2008黄石选改填】如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上的一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是 　 　。 【2021青海19，2】如图1，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 　 　。 【2017广西梧州】如图2，正方形ABCD的边长为8，O是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PO+PB的最小值为 　 　。 如图3，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN的上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=　 　。 图1 图2 图3 【2021贵州毕节18，5】如图4，在菱形ABCD中，BC=2，∠C=120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为__________。 【2018新疆9，5】如图5，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　） A． B．1 C． D．2 【2008湖北荆门17，3】如图6，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M，N分别