上海市进才中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题

进才中学2022学年第一学期高三年级数学月考 2022.12 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请将正确答案直按填写在答题纸相应空格上） 1.已知集合，，则______. 2.已知，，用a，b表示______. 3.已知等差数列的前n项和为，，，则当，取最大值时n的值为____. 4.展开式中含项的系数为______. 5.已知集合，若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是______. 6.甲、乙、丙等五人在某景点站成一排拍照留念，则甲不站两端且乙和丙相邻的概率是_____. 7.在锐角△ABC中，角B所对的边长b=6，△ABC的面积为15，外接圆半径R=5，则△ABC的周长为______. 8.已知点P是双曲线左支上一点，，是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是______. 9.设函数，，其中a，。若存在极值点，且，其中，则______. 10.在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为______. 11.已知，则的最大值为______. 12.已知数列满足：对任意的均有，其中k为不等于0与1的常数，若，i=2、3、4、5，则满足条件的所有可能值的和为______. 二、选择题（本大题共4题，第12，14题每题4分，第15，16题每题5分，满分18分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置） 13.已知，q：直线与平行，则p是q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 14.已知，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15.设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16.已知定义在集合上的函数满足对，记的最小值为M，最大值为N，，，则下列命题正确的是（ ）（注：表示集合A中元素的个数. A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 三、解答题（本大题共5题，满分78分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置） 17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 如图，在直三棱柱中，，∠ACB=90°，P是的中点，Q是AB的中点. （1）求证：PQ⊥平面； （2）求直线与平面PCQ所成角的大小. 18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 已知数列中，，，. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由. 19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计） （1）若，求折断前树的高度（结果保留一位小数） （2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由. 20.（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分） 设F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点. （1）若，求此时直线l的方程； （2）若与直线l垂直的直线过点F，且与抛物线C相交于点M，N，设线段AB，MN的中点分别为P，Q，如图1.求证：直线PQ过定点； （3）设抛物线C上的点S，T在其准线上的射影分别为，，若的面积是△STF的面积的两倍，如图2.求线段ST中点的轨迹方程. 21.（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 设函数在上有定义，实数a和b满足.若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质P. （1）当，且在区间上具有性质P，求常数C的取值范围； （2）已知，且当时，，判别在区间上是否具有性质P； （3）若对于满足的任意实数a和b，在区间上具有性质P，且对于任意，当时，有：，证明：当时，. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.8; 4.30; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.4; 10.； 11. 12. 12.已知数列满足：对任意的均有，其中k为不等于0与1的常数，若，i=2、3、4、5，则满足条件的所有可能值的和为______. 【答案】 【解析】 同理可得,,即复合题意; (2)若为不等于0与1的常数,则数列是以为公比的等比数列, ,,可以取, 若公