上海市南洋模范中学2022-2023学年高三上学期数学周测7

南洋模范2022学年第一学期高三年级数学周测7 2022.11 一、填空题 1.已知集合,集合,则_. 2.函数,的严格递减区间为_. 3.若两条直线:与:平行,则的值是_. 4.已知直线:,,则直线倾斜角的取值范围是_. 5.已知,若圆与圆外切,则_. 6.在平面直角坐标系中,过点且与圆相切的直线方程为_. 7.已知平面内一定点,点、分别是轴和直线上的两个动点,则周长的最小值为_. 8.若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是_. 9.已知椭圆:的左、右焦点分别为、,为上的一点,且,,则椭圆的离心率为_. 10.已知直线:与直线:相交于点,点是圆:上的动点,则的最大值为_. 11.是坐标原点,点,已知,是坐标平面内的两个动点.若,,且,则的最大值等于_. 12.已知函数,正数数列满足,若对任意正整数,不等式都成立,则实数的最小值为_. 二、选择题 13.用反证法证明命题“若,则,中至少有一个不为0”成立时,第一步应假设( ) A.,中至少有一个为0 B.,中至多有一个不为0 C.,都不为0 D.,都为0 14.盒中装有大小相同的5个小球,其中黑球3个,白球2个,假设每次随机在5个球中取一个,取球后放回摇匀,则下列说法正确的是( ) A.“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”互斥 B.“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”独立 C.“前三次都取到黑球”和“前三次都取到白球”对立 D.若连续三次都取到黑球,则第四次取到白球的概率会大于 15.对于定义域为的函数,设关于的方程,对任意的实数总有有限个根,记根的个数为,给出下列两个命题:①设,若,则;②若,则为单调函数,则下列说法正确的是( ) A.①正确②正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①错误②错误 16.已知异面直线、成60°角,其公垂线段为,,长为4的线段的两端点分别在直线、上运动,则中点的轨迹为( ) A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.以上都不是 三、解答题 17.2022年2月20日,北京冬奥会在鸟巢落下帷幕,中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及,让越来越多的青少年爱上了冰雪运动,某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛,并抽取100名参赛学生的成绩制作成频率分布表: 竞赛得分 频率 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2 (1)如果规定竞赛得分在为“良好”,竞赛得分在为“优秀”,从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中,使用分层抽样抽取10个学生,问各抽取多少人? (2)在(1)的条件下,再从这10学生中抽取6人进行座谈,求至少有3人竞赛得分是“优秀”的概率. 18.在中,,斜边,是的中点,现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥,点为圆锥底面圆周上的一点,且. (1)求该圆锥的全面积(即表面积); (2)求异面直线与所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) 19.已知函数的最小值为1. (1)求实数的值; (2)若直线:与曲线没有公共点,求实数的取值范围. 20.已知椭圆:,过定点的直线交椭圆于,两点,其中. (1)若椭圆短轴长为且经过点,求椭圆方程; (2)对(1)中的椭圆,若,求面积的最大值,并求此时直线的方程; (3)若直线与轴不垂直,问:在轴上是否存在点,使得恒成立?如果存在,求出,的关系;如果不存在,说明理由. 21.已知两个无穷数列和的前项和分别为、,,,对任意的,都有. (1)求数列的通项公式; (2)若为等差数列,对任意的,都有,证明:; (3)若为等比数列,,,求满足的的值. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.3; 4.; 5.3; 6.; 7.; 8.; 9. ; 10.; 11. 12. 12.已知函数,正数数列满足,若对任意正整数,不等式都成立,则实数的最小值为_. 【答案】 【解析】因为,则, 即为即,令, 则,表示双曲线的上支,而表示双曲线上两点,连线的斜率,当时,趋向于渐 近线的斜率,而双曲线的渐近线为, 所以,所以,,即最小值为 二、选择题 13.D 14.B 15.B 16.A 16.已知异面直线、成60°角,其公垂线段为,,长为4的线段的两端点分别在直线、上运动,则中点的轨迹为( ) A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.以上都不是 【答案】A 【解析】设EF的中点为,过作EF的垂面,则AB的中点必在平面内,设A,B在上的射影分别为M,N,,. 以为原点,以的平分线所在直线为轴,在平面内建立平面坐标系xOy,设, 则由余弦定理可得(1) 代入(2)可得 的轨迹椭圆. 故选:A. 三、解答题 17.(1)6人;2人 (2) 18.(1)12(2) 19.(1)(2) 20.(1)(2)(3)存在; 21.已知两个无穷数列和的前项和分别为、,,,对任意的,都有. (1)求数列的通项公式